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2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，大會會標為右圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形中較大的銳角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積為，則sin²－cos²的值等于

[　　]

A．1

B．

C．－

D．

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2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，大會會標為圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形中較大的銳角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積為，則sin²－cos²的值等于

[　　]

A．1

B．

C．

D．－

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2002年8月，在北京召開了國際數學家大會，大會會標為下圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的一個小正方形拼成一個大正方形，若直角三角形有較大的銳角為，大正方形ABCD的面積為1，小正方形EFGH的面積為，則的值等于

[　　]

A．

B．

C．

D．

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2002年8月在北京召開了國際數學家大會，會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形面積是1，小正方形面積是，則sin²θ-cos²θ的值是

A.1                  B.               C.              D.-

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2002年8月在北京召開了國際數學家大會，會標如圖所示，它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若直角三角形中較小的銳角為θ，大正方形面積是1，小正方形面積是，則sin²θ-cos²θ的值是

A.1                  B.               C.              D.-

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一、選擇題：1~12(5×12=60)

題號

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

答案

B

B

A

B

C

D

B

C

B

C

C

D

二、填空題：13、B；14、-；15、3²⁰⁰⁵；16、(2-2，2)。

三、解答題：

17.解：(1)根據已知條件得：△=16sin2θ-4atanθ=0

              即：a=2sin2θ                                                                2分

              又由已知：

              得                                                                              4分

              所以有0<sin2θ<1

              所以a∈(0，2)                                                                            6分

         (2)當a=時由(1)得2sin2θ=                                                     8分

              所以sinθ=，而sin2θ=-cos(+2θ)

                                                 =-2cos2()+1=                               10分

              所以cos²()=,又

              所以cos()=-                                                                 12分

18.(九A解法)解：(1)取AC、CC₁中點分別為M、N，連接MN、NB₁、MB₁，

              ∵AC₁∥MN，NB₁∥CE

              ∴∠MNB₁是CE與AC₁成角的補角                                            2分

              Rt△NB₁C₁中，NB₁=

              Rt△MNC中，MN=6

              Rt△MBB₁中，MB₁=

              ∴cos∠MNB₁=-

              ∴CE與AC₁的夾角為arccos                                                4分

         (2)過D作DP∥AC交BC于P，則A₁D在面BCC₁B₁上的射影為C₁P，而CE⊥A₁D，由三垂線定理的逆定理可得CE⊥C₁P，又BCC₁B為正方形

              ∴P為BC中點，D為AB中點，                                                6分

              ∴CD⊥AB，CD⊥AA₁

              ∴CD⊥面ABB₁A₁                                                                       8分

         (3)由(2)CD⊥面A₁DE

              ∴過D作DF⊥A₁E于F，連接CF

              由三垂線定理可知CF⊥A₁E

              ∴∠CFD為二面角C-A₁E-D的平面角                                         10分

              又∵A₁D=

              ∴A₁D²+DE²=A₁E²=324

              ∴∠A₁DE=90°

              ∴DF=6，又CD=6

              ∴tan∠CFD=1

              ∴∠CFD=45°

∴二面角C-A₁E-D的大小為45°                                                12分

       (此題也可通過建立空間直角坐標系，運用向量的方法求解)

19.解：由已知得：

              不等式x²+px-4x-p+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              即：p(x-1)+x²-4x+3>0,在p∈[0,4]上恒成立

              令f(p)=p(x-1)+x²-4x+3

              則有函數f(p)在p∈[0，4]上大于零恒成立。                               4分

          (1)顯然當x=1時不恒成立

          (2)當x≠1時，有即x>3或x<-1                             10分

              所以x∈(3+∞)U(-∞,-1)為所求                                                   12分

20.解：(1)ξ=0、1、2、3

                     P(ξ=0)=

                     P(ξ=1)=

                     P(ξ=2)=

                     P(ξ=3)=

                     ∴Eξ=1×                                            6分

(2)設甲考試合格為事件A，乙考試合格為事件B，A、B為相互獨立事件

  P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

  P(B)=

  甲、乙兩人均不合格為事件

  p()=[1-P(A)][1-P(B)]=

  ∴甲、乙兩人至少有一人合各的概率為                                                      12分

21.解：(1)∵AB方程是y=3x+1，則

       得(1+9a²)x²+6a²x=0

       ∴x _A =-,同理BC方程是y=-

       可得x_c=                                                                                                 2分

       ∴|AB|=|x_A-0|?

       |BC|=|x_c-0|?                                                                       4分

       ∵|AB|=|BC|

       ∴=解得a²=

       ∴橢圓方程為                                                                                 6分

       (2)設AB：y=kx+1(不妨設k>0且k≠1)代入

       整理得(1+a²k²)x²+a²kx=0

       ∴x_A=-,同理x_c=                                                                       8分

       ∴|AB|=，

       |BC|=

       又|AB|=|BC|

       ∴整理得

       (k-1)[k²+(1-a²)k+1]=0   (k≠1)

       ∴k²+(1-a²)k+1=0                                                                                             10分

       ∴△=(1-a²)²-4≥0,解得a≥

       若△=0，則a=,此時k²+[1-()²]k+1=0

       k₁=k₂=1與k≠1矛盾，故a>.                                                                  12分

22.解：(1)由已知有f′(x)=2n

       令f′(x)=0

       得x=±                                                                                              2分

       ∵x∈[0,+∞],∴x=

       ∵0<x<時f′(x)<0

       X>時f′(x)>0

       ∴當x=時，f_min(x)=an=2n

       =                                                                                                        5分

       (2)由已知T_n=cos

                            =                                                                7分

                     ∵                                                            9分

                     ∴π>

                     又y=cosx在(0,π)上是減函數

                     ∴T_n是遞增的

       ∴T_n<T_n+1(n∈N*)                                                                                            10分

       (3)不存在

         由已知點列A_n(2n,),顯然滿足y²=x²-1,(x=2n)                                     12分

              即A_n上的點在雙曲線x²-y²=1上，且在第一象限內

              ∴任意三點A_n、A_m、A_p連線的斜率K_AnAm，K_AnAp，K_AmAp均為正值。

              ∴任意兩個量的乘積不可能等于-1

              ∴三角形A_nA_mA_p三個內角均無直角

              ∴不可能組成直角三角形。                                                                      14分