題目列表(包括答案和解析)
（14分）已知函數f(x)=
在定義域內為奇函數，
且f(1)=2,f(
)=
;
（1）確定函數的解析式;
（2）用定義證明f(x)在[1，+∞）上是增函數；
|
如圖，在底面為直角梯形的四棱錐
中
，
平面
，
，
，
．
⑴求證：
；
⑵求直線
與平面
所成的角；
⑶設點
在棱上，
，
若
∥平面
，求
的值.
|
設函數
.
（Ⅰ）求
的單調區間和極值；
（Ⅱ）是否存在實數
，使得關于
的不等式
的解集為
？若存在，求的取值范圍；若不存在，試說明理由.
|
等差數列{
}前n項和為
，滿足
，則下列結論中正確的是（ ）
|
是中的最大值
B、是中的最小值 C、=0 D、
=0
對于給定數列
，如果存在實常數
，使得
對于任意
都成立，我們稱數列是 “
類數列”．
（Ⅰ）已知數列
是 “類數列”且
，求它對應的實常數的值；
（Ⅱ）若數列
滿足
，
，求數列的通項公式．并判斷是否為“類數列”，說明理由．
|
一、A卷：AADCB DCCCB AA
二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③
三、(17)解：(Ⅰ)f(x)=(sinx+cosx)2=[
sin(x+
]2=[g(x)]2
由f(x)=g(x),得g(x)=0,或g(x)=1
∴sin(x+)=0,或sin(x+)=1 ……………………………………………3分
∵-
∴x+=0,或x+=,或x+=
x=-或x=0或x=
所求x值的集合為{-,0,} …………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
解不等式2kπ+≤x+≤2kπ+,k∈Z,得
2kπ+≤x≤2kπ+
…………………………………………………………9分
∵-≤x≤且x≠-,
∴≤x≤
∴函數
的單調遞減區間為[，]
………………………………………12分
18.解：所獲利潤為3000元時，所生產的產品一件為二等品，另一件不能達到一、二等品，所求概率為：P1=2×0.2×0.05=0.02 ………………………………………6分
所獲利潤不低于14000元，所生產的產品一件為一等品，一件為二等品，或兩件均為一等品，所求概率為：P2=2×0.75×0.2+0.752=0.8625 ……………………12分
19.解法一：(Ⅰ)∵PO⊥平面ABCD，∴OD為PD在平面ABCD內的射影
又ABCD為菱形，∴AC⊥OD，∴AC⊥PD,即PD⊥AC
在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，
∴OD=AO?cot60°=1
在Rt△POD中，PD=
，由PE：ED=3：1，得
DE=
又∠PDO=60°，
∴OE2+DE2=OD2，∴∠OED=90°,即PD⊥OE
PD⊥平面EAC …………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA,PD⊥EC,則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角tan∠AEO=
，易知OE為AC的垂直平分線，所以∠AEC=2∠AEO，
∴cos∠AEC=cos2∠AEO-sin2∠AEO
=
………………………………………8分
(Ⅲ)由O為BD中點，知點B到平面PDC的距離等于點O到平面PDC距離的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC⊥平面PDC，作OH⊥CE，垂足為H，則OH⊥平面PDC，在Rt△OEC中，∠EOC=90°，OC=
∴OH=
所以點B到平面PDC的距離為
……………………………………………12分
解法二：建
立如圖所示的坐標系O-xyz，其中A(0，-
，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，).
(Ⅰ)由PE：ED=3：1，知E(-
)
∵
∴
∴PD⊥OE，PD⊥AC，∴PD⊥平面EAC……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥EA，PD⊥EC，則∠AEC為二面角A-PD-C的平面角
∵
∴cos∠AEC=cos<
……………………………………………8分
(Ⅲ)由O為BD中點知，點B到平面PDC的距離為點O到平面PDC距離的2倍
又
，cos∠OED=cos<
所以點B到平面PDC的距離
d=2
………………………………………………12分
20.解：(Ⅰ)依題意，設f(x)=a(x-2)2+b(a≠0)
當a>0時，則f(-4)=18,f(-2)=-18,∴
解得a=1,b= -18…………………………………………………………………………3分
當a<0時，則f(2)=18,f(-4)=-
解得a=-1,b=18
∴所求解析式為f(x)=x2-4x-14或f(x)=-x2+4x+14……………………………………6分
(Ⅱ)f(x)=a(x-2)2+b=ax2-4ax+4a+b
f′(x)=2ax-4a
∵f′=-2,∴2a-4a=-2,∴a=1……………………………………………………………8分
∴f(1)=1+b,f(3)=1+b即A(1，1+b),B(3,1+b)
f′(3)=6a-4a=2
設l1、l2的方程為：y-(1+b)=-2(x-1)
y-(1+b)=2(x-3)
上式聯立解得y=b-1
即C點的縱坐標為b-1
∴△ABC的AB邊上的高h=|(b-1)-(1+b)|=2
又|AB|=2
∴△ABC的面積S=
|AB|?h=2……………………………………………………12分
21.解：(Ⅰ)在(n+1)an-nan+1=2中，令n=1,得2a1-a2=2,∴a2=2a1-2=4再令n=2,得3a2-2a3=2,得a3=
a2-1=5
∴a2=4,a3=5…………………………………………………………………………………3分
(Ⅱ)由(n+1)an-nan+1=2,得
∴
當n≥2時，
=
∴an=n+2
n=1時，a1=3也適合，∴an=n+2(n∩N*)…………………………………………8分
(Ⅲ)∵an+an+1=(n+2)+(n+3)=2n+5
∴(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=
…………………………12分
22.解：由已知，F(
)，雙曲線的漸近線y=±x的方向向量為v=(1,±1),當l斜率k存在時，不失一般性，取A(，-1)、B(，1)、B(，1)，則
在v上的投影的絕對值為
，不合題意………………………………………………2分
所以l的斜率k存在，其方程為y=k(x-).
由
得(k2-1)x2-2k2x+2k2+1=0(k2≠1)
設A(x1,k(x1-))、B(x2,k(x2-)),則x1+x2=
………………6分
當v=(1，1)時，設與v的夾角為θ，則=(x2-x1,k(x2-x1))在v上投影的絕對值
=
=
.
由
，得2k2-5k+2=0,k=2或k=
.
所以直線l的方程為y=±2(x-)或y=±
.…………………12分
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