題目列表(包括答案和解析)
已知函數f(x)＝－x3－ax2＋b2x＋1(a、b∈R)．
(1)若a＝1，b＝1，求f(x)的極值和單調區間；
(2)已知x1，x2為f(x)的極值點，且|f(x1)－f(x2)|＝|x1－x2|，若當x∈[－1,1]時，函數y＝f(x)的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，求m的取值范圍
已知函數f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b
R)．
①若f(x)在[0，2]上是增函數，x＝2是方程f(x)＝0的一個實根，求證：f(1)≤－2；
②若f(x)的圖象上任意不同兩點的連線斜率小于1，求實數a的取值范圍．
已知函數f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)
(1)若函數f(x)在x＝0，x＝2處取得極值，且極小值為－2，求a，b的值．
(2)若x∈[0，1]，函數f(x)在圖象上任意一點的切線的斜率為k，求k≤1恒成立時a取值范圍．
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
C
B
D
C
B
C
D
C
二、填空題
13.
14.
15.1<m<2 16.2x+6
三、解答題
17.(1)將正弦定量代入條件得：
…………2分
即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0
2sinAcosB+sin(B+C)=0
由B+C=π-A，得2sinAcosB+sinA=0 …………4分
又sinA>0,∴cosB=-
,又0<B<π，∴B=
…………6分
(2)由余弦定理有：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2+ac=(a+c)2-ac將b=
,a+c=4代入得ac=3
…………10分
∴S△ABC=
…………12分
18.(1)由Sn=
(an+1)2,且an>0,得a1=S1=(a1+1)2,解得a1=1n≥2時，an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2
(an-1)2-(an-1+1)2=0, (an+an-1)(an-an-1-2)=0
∴an-an-1-2=0, 即an-an-1=2, ∴{an}是公差為2的等數列
∴an=2n-1 …………6分
(2)Cn=
Tn=
∴
∴Tn=1+1
…………12分
19.(1)20個數中有3的倍數6個，除以3余1的7個，余2的7個 …………2分
P1=
…………6分
(2)20個奇數有10個偶數有10個，其中5個是4的倍數。 …………8分
∴P2=1
…………12分
20.(1)連結A1B、A1E，并延長A1E交AC的延長線于點P，連BP由E為C
∵D、E分別是A1B、A1P的中點，
∴DE∥BP
又BP
面ABC，DE
面ABC
∴DE∥平面ABC …………4分
(2)∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，F為BC的中點
∴BC⊥AF
∵BB1⊥平面ABC，∴B
∴∠B1FB為二面角B1-AF-B的平面角
在Rt△B1BF中，∠B1BF=90°，B1B=a,BF=
∴tan∠B1FB=
∴∠B1FB=arctan
…………8分
即二面β1-AF-B的大小為arctan
(3)∵B
∴B
由AF⊥BC，有AF⊥平面B1BCC1，即AF⊥平面B1EF
∴VF-B1AE=VA-B1EF=
…………12分
(注：用向量解法可參照給分)
21.證：(1)設f(x)上任意兩點，A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2))不妨令x1>x2
∵
∴f(x1)-f(x2)<x1-x2
即f(x1)-x1<f(x2-x2)令g(x)=f(x)-x=-x3+ax2-x+b
∵當x1>x2時g(x1)<g(x2)
∵g(x)單調遞減 ……………6分
(2)∴g(x)單調遞減∴g′(x)≤0恒成立
∴-3x2+2ax-1≤0恒成立
∴△=
∴-
≤a≤ ……………12分
22.(1)∵
=(x,y+2) 
=(x,y-2)
||+||=8,∴
=8
由橢圓定義知，M點軌跡是以(0，2)和(0，-2)為焦點的橢圓
∴
……………6分
(2)∵l的斜率一定存在，設l：y=kx+3
(3k2+4)x2+18kx-21=0 ……………8分
設A(x1，y1),B(x2,y2)
∵
∴OAPB為平行四邊形
又∵
即OAPB為矩形 ∴
∴x1x2+y1y2=0
∴(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0
∴-(1+k2)?
∴k2=
∴k=±
經檢驗k=±合題意.
∴存在直線l：y=±x+3 …………14分
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