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已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q=f(P)，設P₁（x₁，y₁），P₂=f(P₁)，P₃=f(P₂)，…，P_n=f(P_n-1)，…。如果存在一個圓，使所有的點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點P_n(x_n，y_n)的一個收斂圓。特別地，當P₁=f(P₁)時，則稱點P₁為映射f下的不動點，
(Ⅰ)若點P(x，y)在映射f下的象為點Q(2x，1-y)，
①求映射f下不動點的坐標；
②若P₁的坐標為(1，2)，判斷點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由；
(Ⅱ)若點P(x，y)在映射f下的象為點，P₁(2，3)，求證：點P_n(x_n，y_n)(n∈N*)存在一個半徑為的收斂圓。

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

A

C

D

C

C

A

C

D

B

B

D

二、填空題

13.3        14.-a、b、-c         15.18             16.(1)(2)

三、解答題

17.解：(1)∵夾角為x,∴cosx=6

S=sin∠ABC=sin(π-x)=sinx                           …………2分

∴                                    …………4分

x∈[0,π],∴x∈[]                                                                              …………6分

(2)f(x)==cos⁴x×1+(-sinx)(sin³x+2sin2x)=cos⁴x-sin⁴x-2sinxcosx

=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-sin²x=cos²x-sin²x=2cos(2x+)                  …………9分

∵

∴f(x)∈[-]                                                                                       …………12分

18.解：(1)從平臺達到第一階每步只能上一階，因此概率P₁=                …………2分

從平臺到達第二階有二種走法：走兩步，或一步到達，

故概率為P₂=×+                                                                      …………5分

(2)該人走了五步，共上的階數ξ取值為5，6，7，8，9，10

ξ的分布列為：(6分)

ξ

5

6

7

8

9

10

P

()⁵

E_ξ=5×()5+6×    …………12分

19.(1)證：連結A₁D、A₁B

由已知可得△AA₁B和△A₁AD為全等的正三角形.

∴A₁B=A₁D∴A₁O⊥BD

又AB=AD，BD=BD

∴△ABD≌△A₁BD∴A₁O=AO=

又AA₁=2∴A₁O⊥AO

∴A₁O⊥平面ABCD                                                                        …………4分

(2)過C₁作C₁H⊥AC交AC的延長線于H，則C₁H⊥平面ABCD

連結BH，則∠C₁BH為BC₁與平面ABCD所成的角.

∵OH=A₁C₁=2，BO=，∴BH=

∴tan∠C₁BH=∠C₁BH=arctan                       …………8分

((2)也可用向量法求解)

(3)連結OO₁，易知AA₁∥OO₁，面AA₁O₁O⊥面BDD₁B₁

作A₁G⊥OO₁，則A₁G為AA₁與面B₁D₁DB的距離.

由(1)知A₁O=AO=A₁O₁，A₁O⊥A₁O₁

∴A₁G==1                                                                             …………12分

((3)也可用向量法或等積法求解)

20.(1)y²=,∵y²>0,x>0,∴x>3又y<0

  ∴y=-                                                                      …………4分

  (2)x=∴y=f^-1(x)=  (x<0)                                        …………7分

  設(x₀，y₀)為y=f^-1(x)圖象上任一點.

  =

  故-                                                                                   …………12分

21.(1)，當n=時，

∴c=                                                                                            …………3分

(2)∵直線x=∴P點在以F為焦點，x=為準線的橢圓上                                                                                …………5分

設P(x,y)則點B(0，-1)代入，解得a=

∴曲線方程為                                                                   …………7分

 (3)設l:y=kx+m(k≠0)與聯立，消去y得：(1+3k²)x²+6kmx+3m²-3=0,

  △>0得：m²<3k²+1                                                                         …………9分

  設M(x₁，y₁),N(x₂，y₂),MN中點A(x₀,y₀),由，

  由韋達定理代入K_BA=-，可得到m=

  ∴k²-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1                                                 …………11分

  即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l與曲線Q交于兩個不同的點M、N

  使                                                                                 …………12分

22.(1)由于數列{a_n}的倒均數，V_n=

得：                                                           …………2分

當n≥2時，所以，又當n=1時，a₁=也適合上式.

∴a_n=                                                                           …………6分

(2)由于{b_n}是公比為q=的等比數列，∴{}為公比為2的等比數列，其倒均數

V_n=，不等式V_n<                                      …………8分

若b₁<0,則2ⁿ-1>8n，令f(x)=2^x-8x-1，則f(x)=2^xln2-8,當x≤3時，f(x)<0,當x>4時，f(x)>0,∴f(x)當x≥4時是增函數又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故當n≥6時，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整數m，使得當n≥m,n∈N*時，V_n<恒成立，且m的最小值為6……12分

若b₁>0,則上式即為2ⁿ-1<8n,顯然當n≤5時成立，而n>5時不成立，故不存在正整數m,使n≥m(n∈N*)時，V_n=成立                                                                 …………14分