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已知函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若過點A(2，m)可作曲線y＝f(x)的三條切線，求實數m的取值范圍．

【解析】本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。第一問，利用函數f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1處取得極值，且在x＝0處的切線的斜率為－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，因為過點A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分離參數∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函數求導數，判定單調性，從而得到要是有三解，則需要滿足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依題意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)設切點為(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切線方程為y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切線過點A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

則g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)單調遞減，(0,2)單調遞增，(2，＋∞)單調遞減．

∴g(x)_極小值＝g(0)＝－6，g(x)_極大值＝g(2)＝2

畫出草圖知，當－6<m<2時，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范圍是(－6,2)．

 

已知函數f(x)=sin（2x+φ）+acos(2x+φ)，其中a,φ為正常數且0＜φ＜π，若f(x)的圖象關于直線x=對稱，f(x)的最大值為2.

（1）求a和φ的值；

（2）由y=f(x)的圖象經過怎樣的平移得到y=2sin(2x+)的圖象？

A、 lim x→1+ f(x)= lim x→1- f（x）

B、 lim x→1+ f(x)=2， lim x→1- f(x)不存在

C、 lim x→1+ f（x）=0， lim x→1- f(x)不存在

D、 lim x→1+ f（x）≠ lim x→1- f（x）

已知函數f(x)對任意的實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1.

(1)若x∈N^*,試求f(x)的表達式；

(2)若x∈N^*，且x≥2時，不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求實數a的取值范圍.