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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2

2

．
（1）求異面直線PC與AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD內有一經過點C的曲線E，該曲線上的任一動點Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內，設點Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內部（包括邊界）的一段曲線CG上的動點，其中G為曲線E和DC的交點．以B為圓心，BQ為半徑的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點．當Q點在曲線段GC上運動時，試提出一個研究有關四面P-BMN的問題（如體積、線面、面面關系等）并嘗試解決．
（說明：本小題將根據你提出的問題的質量和解決難度分層評分；本小題的計算結果可以使用近似值，保留3位小數）

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2AB=2．
（1）求異面直線PC與AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD內有一經過點C的曲線E，該曲線上的任一動點Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內，設點Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內部（包括邊界）的一段曲線CG上的動點，其中G為曲線E和DC的交點．以B為圓心，BQ為半徑的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點．當Q點在曲線段GC上運動時，試提出一個研究有關四面P-BMN的問題（如體積、線面、面面關系等）并嘗試解決．
（說明：本小題將根據你提出的問題的質量和解決難度分層評分；本小題的計算結果可以使用近似值，保留3位小數）

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已知點E、F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP、FP相交于點P，且它們的斜率之積為．
（1）求證：點P的軌跡在一個橢圓C上，并寫出橢圓C的方程；
（2）設過原點O的直線AB交（1）中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）反思（2）題的解答，當△MAB的面積取得最大值時，探索（2）題的結論中直線AB的斜率k_AB和OM所在直線的斜率k_OM之間的關系．由此推廣到點M位置的一般情況或橢圓的一般情況（使第（2）題的結論成為推廣后的一個特例），試提出一個猜想或設計一個問題，嘗試研究解決．
[說明：本小題將根據你所提出的猜想或問題的質量分層評分]．

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因為拋物線的焦點的坐標為，設、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

…2

…4

…8

…12

17.（文，滿分12分）

解：因為，所以由條件可得，.

即數列是公比的等比數列.

又，

所以，.

…4

…6

…8

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因為

所以，

即或，

或，

又由，即

當時，或；當時，或.

所以，集合.

…3

…7

…11

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當時，

故，，所以.

（2）證：由數學歸納法

（i）當時，易知，為奇數；

（ii）假設當時，，其中為奇數；

則當時，

所以，又、，所以是偶數，

而由歸納假設知是奇數，故也是奇數.

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數.

證法二：因為

當為奇數時，

則當時，是奇數；當時，

因為其中中必能被2整除，所以為偶數，

于是，必為奇數；

當為偶數時，

其中均能被2整除，于是必為奇數.

綜上可知，各項均為奇數.

…3

…6

…8

…10

…14

…15

…10

…14

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設中點為，聯結、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

…3

…8

…10

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當和之間的距離為1米時，應位于上方，

且此時中邊上的高為0.5米.

又因為米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風窗的通風面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當在矩形區域滑動，即時，

的面積；

2如圖（2）所示，當在半圓形區域滑動，即時，

，故可得的面積

；

綜合可得：

（3）1當在矩形區域滑動時，在區間上單調遞減，

則有；

2當在半圓形區域滑動時，

，

等號成立，.

因而當（米）時，每個三角通風窗得到最大通風面積，最大面積為（平方米）.

…2

…4

…6

…9

…10

…12

…15

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設右焦點坐標為（）.

因為雙曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設、為雙曲線直線的兩個交點.

因為，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設存在定點，使為常數，其中，為直線與雙曲線的兩個交點的坐標.

   ①當直線與軸不垂直時，設直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關的常數，當且僅當，此時.

 ②當直線與軸垂直時，可得點,，

 若，亦為常數.

綜上可知，在軸上存在定點，使為常數.

…3

…5

…7

…9

…11

…13

…16

…17

…18

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因為，又平面，

所以平面，則有.

    因為，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與