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(本小題滿分12分)
如圖，已知橢圓C₁的中心在圓點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上，橢圓C₁的短軸為MN，且C₁，C₂的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C₁交于兩點(diǎn)，與C₁交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D.

（I）設(shè)e=，求|BC|與|AD|的比值；
（II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO//AN,并說明理由.

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本小題滿分12分）
如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.

（1）設(shè)，求與的比值；
（2）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由

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一、選擇題

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

C

B

C

B

A

D

B

D

A

D

C

1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，……，10}，集合Q={x∈R | x²+x－6≤0} =， 所以P∩Q等于{1，2} ，選B．

2．復(fù)數(shù)=，選C．

3． n→∞lim=

     =，選B．

4．函數(shù)f(x)=log_a(x+b)(a>0，a≠1)的圖象過點(diǎn)(2，1)，其反函數(shù)的圖象過點(diǎn)(2，8)，

則，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，選C．

5．設(shè)直線過點(diǎn)(0，a)，其斜率為1， 且與圓x²+y²=2相切，設(shè)直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑，∴ ，∴ a 的值±2，選B．

6．若等式sin(α+γ)=sin2β成立，則α+γ=kπ+(－1)^k?2β，此時(shí)α、β、γ不一定成等差數(shù)列，若α、β、γ成等差數(shù)列，則2β=α+γ，等式sin(α+γ)=sin2β成立，所以“等式sin(α+γ)=sin2β成立”是“α、β、γ成等差數(shù)列”的．必要而不充分條件。選A．

7．已知雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a²=6，雙曲線的離心率為 ，選D．

8．已知不等式(x+y)()≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則≥≥9，∴ ≥2或≤－4(舍去)，所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4，選B．

9．已知非零向量與滿足()?=0，即角A的平分線垂直于BC，∴ AB=AC，又= ，∠A=，所以△ABC為等邊三角形，選D．

10．已知函數(shù)f(x)=ax²+2ax+4(0<a<3)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，0<a<3，∴ x₁+x₂=1－a∈(－2，1)，x₁與x₂的中點(diǎn)在(－1，)之間，x₁<x₂，∴ x₂到對(duì)稱軸的距離大于x₁到對(duì)稱軸的距離，∴ f(x₁)<f(x₂) ，選A．

11．已知平面α外不共線的三點(diǎn)A、B、C到α的距離都相等，則可能三點(diǎn)在α的同側(cè)，即．平面ABC平行于α，這時(shí)三條中位線都平行于平面α；也可能一個(gè)點(diǎn)A在平面一側(cè)，另兩點(diǎn)B、C在平面另一側(cè)，則存在一條中位線DE//BC，DE在α內(nèi)，所以選D．

12．為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密規(guī)則為:明文a，b，c，d對(duì)應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對(duì)應(yīng)密文5，7，18，16。當(dāng)接收方收到密文14，9，23，28時(shí)，

則，解得，解密得到的明文為C．

二、填空題

13．－   14．594   15．3R     16．600

13．cos43°cos77°+sin43°cos167°==－．

14．(3x－)¹²展開式中，x^－3項(xiàng)為=594，的系數(shù)是594．

15．水平桌面α上放有4個(gè)半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切(球心的連線構(gòu)成正方形)．在這4個(gè)球的上面放1個(gè)半徑為R的小球，它和下面4個(gè)球恰好都相切，5個(gè)球心組成一個(gè)正四棱錐，這個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4R，側(cè)棱長(zhǎng)為3R，求得它的高為R，所以小球的球心到水平桌面α的距離是3R．

16．某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論，① 甲、丙同去，則乙不去，有=240種選法；②甲、丙同不去，乙去，有=240種選法；③甲、乙、丙都不去，有種選法，共有600種不同的選派方案．

三、解答題

17．解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

          = 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1

         =2sin[2(x－)－]+1

         = 2sin(2x－) +1 

∴ T==π

  (Ⅱ)當(dāng)f(x)取最大值時(shí)， sin(2x－)=1，有  2x－ =2kπ+

即x=kπ+    (k∈Z)  ∴所求x的集合為{x∈R|x= kπ+ ，  (k∈Z)}．

18．解: (Ⅰ)記"甲投籃1次投進(jìn)"為事件A₁ ， "乙投籃1次投進(jìn)"為事件A₂ ， "丙投籃1次投進(jìn)"為事件A₃， "3人都沒有投進(jìn)"為事件A ． 則 P(A₁)= ， P(A₂)= ， P(A₃)= ，

∴ P(A) = P()=P()?P()?P()

 = [1－P(A₁)] ?[1－P (A₂)] ?[1－P (A₃)]=(1－)(1－)(1－)=

∴3人都沒有投進(jìn)的概率為 ．

(Ⅱ)解法一: 隨機(jī)變量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， )，

P(ξ=k)=C₃^k()^k()^3－k  (k=0，1，2，3) ， Eξ=np = 3× = ．

解法二: ξ的概率分布為: 

ξ

0

1

2

3

P

Eξ=0×+1×+2×+3×=   ．

19．解法一: (Ⅰ)如圖， 連接A₁B，AB₁， ∵α⊥β， α∩β=l ,AA₁⊥l， BB₁⊥l，

∴AA₁⊥β， BB₁⊥α． 則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和β所成的角．

Rt△BB₁A中， BB₁= ， AB=2， ∴sin∠BAB₁ = = ． ∴∠BAB₁=45°．

Rt△AA₁B中， AA₁=1，AB=2， sin∠ABA₁= = ， ∴∠ABA₁= 30°．

故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°．

(Ⅱ) ∵BB₁⊥α， ∴平面ABB₁⊥α．在平面α內(nèi)過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B．過E作EF⊥AB交AB于F，連接A1F，則由三垂線定理得A₁F⊥AB， ∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，∴AB₁=B₁B=． ∴Rt△AA₁B中，A₁B== = ． 由AA₁?A₁B=A₁F?AB得 A₁F== = ，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A₁FE = = ， ∴二面角A₁－AB－B₁的大小為arcsin．

解法二: (Ⅰ)同解法一．

(Ⅱ) 如圖，建立坐標(biāo)系， 則A₁(0，0，0)，A(0，0，1)，B₁(0，1，0)，B(，1，0)．在AB上取一點(diǎn)F(x，y，z)，則存在t∈R，使得=t ， 即(x，y，z－1)=t(，1，－1)， ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t， t，1－t)．要使⊥，須?=0， 即(t， t，1－t) ?(，1，－1)=0， 2t+t－(1－t)=0，解得t= ， ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，－， )， ∴=(，， )． 設(shè)E為AB₁的中點(diǎn)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，， )． ∴=(，－，)．

又?=(，－，)?(，1，－1)= － － =0， ∴⊥， ∴∠A₁FE為所求二面角的平面角．

又cos∠A₁FE= = = = = ，

∴二面角A₁－AB－B₁的大小為arccos．

20．解: ∵10S_n=a_n²+5a_n+6， ①   ∴10a₁=a₁²+5a₁+6，解之得a₁=2或a₁=3．

又10S_n－1=a_n－1²+5a_n－1+6(n≥2)，②

 由①－②得 10a_n=(a_n²－a_n－1²)+6(a_n－a_n－1)，即(a_n+a_n－1)(a_n－a_n－1－5)=0 

∵a_n+a_n－1>0  ， ∴a_n－a_n－1=5 (n≥2)．

當(dāng)a₁=3時(shí)，a₃=13，a₁₅=73． a₁， a₃，a₁₅不成等比數(shù)列∴a₁≠3;

當(dāng)a₁=2時(shí)， a₃=12， a₁₅=72， 有 a₃²=a₁a₁₅ ， ∴a₁=2， ∴a_n=5n－3．

21．解法一: 如圖， (Ⅰ)設(shè)D(x₀，y₀)，E(x_E，y_E)，M(x，y)．由=t，  = t ， 知(x_D－2，y_D－1)=t(－2，－2)．   ∴  同理 ． ∴k_DE =  = = 1－2t．

∴t∈[0，1] ， ∴k_DE∈[－1，1]．

(Ⅱ) ∵=t  ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)=t(－2，4t－2)=(－2t，4t²－2t)． ∴     ， ∴y= ， 即x²=4y．  ∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．

即所求軌跡方程為: x²=4y， x∈[－2，2]

解法二: (Ⅰ)同上．

(Ⅱ) 如圖， =+ = +  t = + t(－) = (1－t) +t，

 = + = +t = +t(－) =(1－t) +t，

 = += + t= +t(－)=(1－t) + t

     = (1－t²)  + 2(1－t)t+t² ．

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得

  消去t得x²=4y， ∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．

故所求軌跡方程為: x²=4y， x∈[－2，2]

22．解: （I）∵f '(x)=3x²－2x+ = 3(x－)²+ >0 ， ∴f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)．

（II）∵0<x₀< ， 即x₁<x₀<y_1．又f(x)是增函數(shù)， ∴f(x₁)<f(x₀)<f(y₁)．即x₂<x₀<y₂．

又x₂=f(x₁)=f(0)=>0 =x₁， y₂=f(y₁)=f()=<=y₁，綜上， x₁<x₂<x₀<y₂<y₁．

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:

(1)當(dāng)n=1時(shí)，上面已證明成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)有x_k<x_k+1<x₀<y_k+1<y_k ．

當(dāng)n=k+1時(shí)，由f(x)是單調(diào)增函數(shù)，有f(x_k)<f(x_k+1)<f(x₀)<f(y_k+1)<f(y_k)，∴x_k+1<x_k+2<x₀<y_k+2<y_k+1

由(1)(2)知對(duì)一切n=1，2，…，都有x_n<x_n+1<x₀<y_n+1<y_n．

（III） = = y_n²+x_ny_n+x_n²－(y_n+x_n)+ ≤(y_n+x_n)²－(y_n+x_n)+

  =[(y_n+x_n)－]²+ ． 由(Ⅱ)知 0<y_n+x_n<1．∴－ < y_n+x_n－ < ， ∴ < ()²+ =