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（2010?海淀區一模）如圖15所示，固定在上、下兩層水平面上的平行金屬導軌MN、M'N'和OP、O'P'間距都是l，二者之間固定有兩組豎直半圓形軌道PQM和P'Q'M'，兩軌道間距也均為l，且PQM和P'Q'M'的豎直高度均為4R，兩組半圓形軌道的半徑均為R．軌道的QQ'端、MM'端的對接狹縫寬度可忽略不計，圖中的虛線為絕緣材料制成的固定支架，能使導軌系統位置固定．將一質量為m的金屬桿沿垂直導軌方向放在下層導軌的最左端OO'位置，金屬桿在與水平成θ角斜向上的恒力作用下沿導軌運動，運動過程中金屬桿始終與導軌垂直，且接觸良好．當金屬桿通過4R的距離運動到導軌末端PP'位置時其速度大小vp=4

gR

．金屬桿和導軌的電阻、金屬桿在半圓軌道和上層水平導軌上運動過程中所受的摩擦阻力，以及整個運動過程中所受空氣阻力均可忽略不計．
（1）已知金屬桿與下層導軌間的動摩擦因數為μ，求金屬桿所受恒力F的大小；
（2）金屬桿運動到PP'位置時撤去恒力F，金屬桿將無碰撞地水平進入第一組半圓軌道PQ和P'Q'，又在對接狹縫Q和Q'處無碰撞地水平進入第二組半圓形軌道QM和Q'M'的內側，求金屬桿運動到半圓軌道的最高位置MM'時，它對軌道作用力的大小；
（3）若上層水平導軌足夠長，其右端連接的定值電阻阻值為r，導軌處于磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中．金屬桿由第二組半圓軌道的最高位置MM'處，無碰撞地水平進入上層導軌后，能沿上層導軌滑行．求金屬桿在上層導軌上滑行的最大距離．

（2006?海淀區二模）如圖所示，在水平地面上放置一塊質量為M的長平板B，在平板的上方某一高度處有一質量為m的物塊P由靜止開始落下．在平板上方附近存在“相互作用”的區域（如圖中虛線所示區域），當物塊P進入該區域內，B便會對P產生一個豎直向上的恒力f作用，使得P恰好不與B的上表面接觸，且f=kmg，其中k=11．在水平方向上P、B之間沒有相互作用力．已知平板與地面間的動摩擦因數μ=2.0×10^-3，平板和物塊的質量之比M/m=10．在P開始下落時，平板B向右運動的速度v₀=1.0m/s，P從開始下落到進入相互作用區域經歷的時間t₀=2.0s．設平板B足夠長，保證物塊P總能落到B板上方的相互作用區域內，忽略物塊P受到的空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經歷的時間．
（2）從物塊P開始下落到平板B的運動速度減小為零的這段時間內，P能回到初始位置的次數．

（2005?海淀區一模）如圖所示，兩根相距為d足夠長的平行光滑金屬導軌位于水平面的xoy平面內，一端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B，一電阻為r的金屬直桿與金屬導軌垂直放置并接觸良好，金屬桿可在導軌上滑動．開始時，金屬直桿位于x=0處，給金屬桿一大小為v₀、方向沿x軸正方向的初速度．在運動過程中有一大小可調節的外力F作用在金屬桿上，使金屬桿保持大小為a、方向沿x軸負方向的恒定加速度運動．金屬軌道電阻忽略不計．
（1）該回路中存在感應電流的時間多長？
（2）當金屬桿的速度大小為v₀/2時，回路中的電流有多大？
（3）若金屬桿質量為m，試推導出外力F隨時間t變化的關系．

（2013?海淀區一模）如圖所示，光滑、足夠長、不計電阻、軌道間距為l的平行金屬導軌MN、PQ，水平放在豎直向下的磁感應強度不同的兩個相鄰的勻強磁場中，左半部分為Ι勻強磁場區，磁感應強度為B₁；右半部分為Ⅱ勻強磁場區，磁感應強度為B₂，且B₁=2B₂．在Ι勻強磁場區的左邊界垂直于導軌放置一質量為m、電阻為R₁的金屬棒a，在Ι勻強磁場區的某一位置，垂直于導軌放置另一質量也為m、電阻為R₂的金屬棒b．開始時b靜止，給a一個向右沖量I后a、b開始運動．設運動過程中，兩金屬棒總是與導軌垂直．
（1）求金屬棒a受到沖量后的瞬間通過金屬導軌的感應電流；
（2）設金屬棒b在運動到Ι勻強磁場區的右邊界前已經達到最大速度，求金屬棒b在Ι勻強磁場區中的最大速度值；
（3）金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場區后，金屬棒b再次達到勻速運動狀態，設這時金屬棒a仍然在Ι勻強磁場區中．求金屬棒b進入Ⅱ勻強磁場區后的運動過程中金屬棒a、b中產生的總焦耳熱．