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某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗知道，其次品率P與日產(chǎn)量x（萬件）之間大體滿足關(guān)系：P=（其中c為小于6的正常數(shù)）（注：次品率=次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P=0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品）已知每生產(chǎn)1萬件合格的儀器可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)1萬件次品將虧損1萬元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．
（1）試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？

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一．選擇題

1~10  BADDA    BCBCD

二．填空題

11．2      12．      13．      14．8        15．45

三．解答題

16．解：因為，所以 ………………………………（1分）

   由得，解得 ………………………………（3分）

  因為，故集合應(yīng)分為和兩種情況

（1）時，  …………………………………（6分）

（2）時，  ……………………………………（8分）

所以得     …………………………………………………（9分）

若真假，則…………………………………………………………（10分）

若假真，則  ……………………………………………………………（11分）

故實數(shù)的取值范圍為或………………………………………（12分）

17．解：（1）由1的解集有且只有一個元素知

        或 ………………………………………（2分）

當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，此時不滿足條件2

綜上可知  …………………………………………（3分）

 ……………………………………（6分）

（2）由條件可知……………………………………（7分）

當(dāng)時，令或

所以或……………………………………………………………（9分）

又時，也有……………………………（11分）

綜上可得數(shù)列的變號數(shù)為3……………………………………………（12分）

18．解：（1）當(dāng)時，………………………（1分）

 當(dāng)時，……………………（2分）

由，知又是周期為4的函數(shù)，所以

當(dāng)時

…………………………（4分）

當(dāng)時

…………………………（6分）

故當(dāng)時，函數(shù)的解析式為

………………………………（7分）

（2）當(dāng)時，由，得

或或

解上述兩個不等式組得…………………………………………（10分）

故的解集為…………………（12分）

19．解：（1）當(dāng)時，，……………………（2分）

當(dāng)時，，

綜上，日盈利額（萬元）與日產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)關(guān)系為：

…………………………………………………………（4分）

（2）由（1）知，當(dāng)時，每天的盈利額為0……………………………（6分）

        當(dāng)時，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

所以當(dāng)時，，此時……………………………（8分）

            當(dāng)時，由知

函數(shù)在上遞增，，此時……（10分）

綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬件時，可獲得最大利潤

        若，則當(dāng)日產(chǎn)量為萬件時，可獲得最大利潤…………（12分）

20．解：（1）將點代入得

       因為直線，所以……………………………………（3分）

       （2） ，

當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，……………（5分）

當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，（舍去）

綜上，存在唯一的符合條件…………………………………………………（7分）

（3）證明不等式即證明

     成立，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

1當(dāng)時，不等式左邊=，原不等式顯然成立………………………（8分）

2假設(shè)時，原不等式成立，即

    當(dāng)時

     =

，即時，原不等式也成立 ………………（11分）

根據(jù)12所得，原不等式對一切自然數(shù)都成立 ……………………………（13分）

21．解：（1）由得……………………（1分）

     又的定義域為，所以

當(dāng)時，

當(dāng)時，，為減函數(shù)

當(dāng)時，，為增函數(shù)………………………（5分）

   所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為

                         單調(diào)遞減區(qū)間為…………………（6分）

（2）由（1）知當(dāng)時，，遞增無極值………（7分）

所以在處有極值，故且

     因為且，所以在上單調(diào)

     當(dāng)為增區(qū)間時，恒成立，則有

    ………………………………………（9分）

當(dāng)為減區(qū)間時，恒成立，則有

無解  ……………………（13分）

由上討論得實數(shù)的取值范圍為 …………………………（14分）