題目列表(包括答案和解析)
22.已知函數f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函數y=f(x)圖像上任意不同的兩點連線斜率小于1，求證：-
＜a＜
若x∈［0,1］,函數y=f(x)上任一點切線斜率為k,討論｜k｜≤1的充要條件
解：(1)設任意不同的兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2
則
＜1
(1分)
∴
＜1
即-x12-x1x2-x22+a(x1+x2)＜1
∴-x12+(a-x2)x1-x22+ax2-1＜0 (3分)
∵x1∈R
∴Δ=(a-x2)2+4(-x22+ax2-1)＜0
即-3x22+2ax2+a2-4＜0
∴-3(x2-
)2+
+a2-4＜0
∴
a2-4＜0,∴-＜a＜
(6分)
(2)當x∈［0,1］時，k=f′(x)=-3x2+2ax(7分)
由題意知：-1≤-3x2+2ax≤1,x∈［0,1］
即對于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等價于｜f′(0)｜，｜f′(1)｜，
｜f′()｜的值滿足
或
或
(11分)
即
或 
或 
∴1≤a≤
即｜k｜≤1的充要條件是1≤a≤
20.已知函數f(x)=x4－4x3+ax2－1在區間［0,1)上單調遞增，在區間［1，2)上單調遞減.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若點A(x0,f(x0))在函數f(x)的圖象上，求證點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f(x)的圖象上；
(Ⅲ)是否存在實數b，使得函數g(x)=bx2－1的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點.若存在，請求出實數b的值；若不存在，試說明理由.
解：(Ⅰ)由函數f(x)=x4－4x3+ax2－1，在區間［0，1)上單調遞增，在區間［1，2)上單調遞減，
∴x=1時，f(x)取得極大值，∴f′(1)=0. 2分
f′(x)=4x3－12x2+2ax, ∴4－12+2a=0
a=4. 4分
(Ⅱ)點A(x0,f(x0))關于x=1的對稱點B坐標為(2－x0,f(x0)), 6分
f(2－x0)=(2－x0)4－4(2－x0)3+4(2－x0)2－1=(2－x0)2［(2－x0)－2］2－1
=x04－4x03+4x02－1=f(x0). 8分
∴點A關于直線x=1的對稱點B也在函數f(x)的圖象上. 9分
(Ⅲ)函數g(x)=bx2－1的圖象與函數f(x)的圖象恰有3個交點，等價于方程x4－4x3+4x2－1=bx2－1恰有3個不等實根， 10分
x4－4x3+4x2－1=bx2－1x4－4x3+(4－b)x2=0.
∵x=0是其中一個根，
∴方程x2－4x+(4－b)=0有兩個非0不等實根. 12分
∴
∴b＞0且b≠4. 14分
19.已知偶函數f (x)，對任意x1，x2∈R，恒有：
．
(1)求f (0)，f (1)，f (2)的值；
(2)求f (x)；
(3)判斷
在(0，+∞)上的單調性
解：(1) f (0) = -1，f (1) = 0，f (2) = 3；
(2)
，
又
，f (0) = -1，故
；
(3)
．用定義可證明
在［，+∞)上是增函數，
在(0，］上為減函數
18.在△ABC中，已知
.(I)若任意交換
的位置，
的值是否會發生變化?試證明你的結論； (II)求的最大值.
解：(I)∵ 
，
∴ 任意交換的位置，的值不會發生變化．
(II)將看作是關于
的二次函數.
.
所以，當
，且
取到最大值1時，也即
時，取得最大值
．
也可有如下簡單解法：
19. 已知函數：
．
(1)證明：f(x)+2+f(2a－x)=0對定義域內的所有x都成立；
(2)當f(x)的定義域為[a+
,a+1]時，求證：f(x)的值域為[－3，－2]；
(3)設函數g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值
解(1)證明：
．
∴結論成立 ………………………………………………………………………………4’
(2)證明：
當
，
，
，
，
∴
．
即
．………………………………………………………………8’
(3)
①當
．
如果
即
時，則函數在
上單調遞增，
∴
．
如果
．
當
時，
最小值不存在．……………………………………………………10’
②當
，
如果
．
如果
．
當
．
．……………………………………………12’
綜合得：當
時， g(x)最小值是
；當
時， g(x)最小值是
；當
時， g(x)最小值為
；當時， g(x)最小值不存在．
17. 已知函數
的定義域為
，值域為
．試求函數
(
)的最小正周期和最值
解： 
……2’
…………………………4’
當
＞0時，
，
解得
，………………………………………………………………6’
從而，
，
T=
，最大值為5，最小值為－5；………………………………………………8’
當m＜0時， 解得
，………………………………………………10’
從而，
，T=，最大值為
，
最小值為
．……………………………………………………………………12
15. 若直線y=2a與函數y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_ 
______.
14. 已知函數
.給出下列命題：①f(x)必是偶函數；②f(0)= f(2)時，f(x)的圖象必關于直線x=1對稱；③若
，則f(x)在區間
上是增函數；
④f(x)有最小值
.
其中正確命題的序號是.③ .
13. 已知二次函數f(x)= x2－3x + p－1，若在區間[0，1]內至少存在一個實數c，
使f(c)＞0，則實數p的取值范圍是__ (1，+∞)
16.
如右圖，它滿足：(1)第n行首尾兩數均為n，
(2)表中的遞推關系類似楊輝三角，則第n行
(n≥2)第2個數是
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