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6．(1)將條件變形.得. 于是.有 ---- . 將這n-1個不等式疊加.得 故 (2)注意到.于是由(1)得 . 從而.有 第三講 三角函數 陜西特級教師 安振平 l 高考風向標 主要考查三角函數的定義.三角函數的符號.同角三角函數關系式及誘導公式.兩角和與差的三角函數.二倍角的正弦.余弦.正切公式.三角函數的圖象與性質.包括周期性.奇偶性.單調性.和最值性． l 典型題選講 例1 (1)已知: (2)已知:的值. 點評 三角問題的解決.變形是多途徑的．例如:題1也可以逆向考慮.事實上 例2 已知電流I與時間t的關系式為． (1)右圖是(ω＞0.) 在一個周期內的圖象.根據圖中數據求 的解析式, (2)如果t在任意一段秒的時間內.電流都能取得最大值和最小值.那么ω的最小正整數值是多少? 講解 本小題主要考查三角函數的圖象與性質等基礎知識.考查運算能力和邏輯推理能力． (1)由圖可知 A＝300． 設t1＝-.t2＝. 則周期T＝2(t2-t1)＝2(+)＝． ∴ ω＝＝150π． 又當t＝時.I＝0.即sin(150π·+)＝0. 而. ∴ ＝． 故所求的解析式為． (2)依題意.周期T≤.即≤.(ω>0) ∴ ω≥300π＞942.又ω∈N*. 故最小正整數ω＝943． 點評 本題解答的開竅點是將圖形語言轉化為符號語言．其中.讀圖.識圖.用圖是形數結合的有效途徑． 例3 已知函數. (1)求實數a.b的值, (2)求函數的最大值及取得最大值時x的值. (1)函數 講解 學會翻譯.逐步展開解題思維． 時.函數f(x)的最大值為12. 點評 結論是歷年高考命題的熱點之一． 例4 已知tan2θ＝-2.π＜2θ＜2π.求. 講解 解題目標中含有角.可向角轉化.以便出現,而條件中的可向轉化. 這樣.就消除了解題目標與解題條件之間中的差異．事實上 原式＝ ＝ ＝ . 由 tan2θ＝. 解得 tanθ＝-或tanθ＝. ∵π＜2θ＜2π.∴＜θ＜π. ∴tanθ＝- . ∴原式＝＝3+2． 點評 差異分析.有時需要從條件和解題目標兩個方向同時進行分析.這種相向而行的思維方式.可以快速聯結解題的思維線路. 例5 在中....求的值和的面積． 講解 本題是2004年北京高考試題.下面給出兩種解法． 法一 先解三角方程.求出角A的值． 又, . 法二 由計算它的對偶關系式的值． ① , . ② ① + ② 得 . ① - ② 得 . 從而 ．以下解法略去． 點評 本小題主要考查三角恒等變形.三角形面積公式等基本知識.著重數學考查運算能力.是一道三角的基礎試題．兩種解法比較起來.你認為哪一種解法比較簡單呢? 例6 設函數f(x)=a·b.其中向量a=(2cosx.1).b=(cosx. sin2x).x∈R. (1)若f(x)=1-且x∈[-.].求x, (2)若函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m.n)(|m|<)平移后得到函數y=f(x)的圖象.求實數m.n的值. 講解 (1)依題設可知.函數的解析式為 f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). 由1+2sin(2x+)=1-.可得三角方程 sin(2 x +)=-． ∵-≤x≤. ∴-≤2x+≤. ∴2x+=-.即x=-． (2)函數y=2sin2x的圖象按向量c=(m.n)平移后得到函數y=2sin2(x-m)+n的圖象.即函數y=f(x)的圖象. 由(1)得 f(x)=2sin2(x+)+1. ∵|m|<.∴. 點評 本小題是2004年福建高考試題.主要考查平面向量的概念和計算.三角函數的恒等變換及其圖象變換的基本技能.著重考查數學運算能力．平面向量與三角函數結合是高考命題的一個新的亮點之一． 例7 已知向量m=(1,1).向量n與向量m夾角為.且m·n=-1. (1)求向量n, (2)若向量n與向量q=(1.0)的夾角為.向量p=.其中A.C為△ABC的內角.且A.B.C依次成等差數列．求|n+p|的取值范圍． 講解 (1)設① 與夾角為.有·=||·||·.② 由①②解得 (2)由垂直知. 由2B=A+C 知B= .A+C= 若 點評 本題的特色是將向量與三角綜合.體現了知識的交匯性．解題后.請你反思:解題思維的入手點.解題思維的障礙點.解題思維的開竅點.只有這樣的反思訓練.請相信.你就會慢慢成為解題高手的． 例8 如圖.某園林單位準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地.△ABC外的地方種草.△ABC的內接正方形PQRS為一水池.其余的地方種花.若BC=a.∠ABC=.設△ABC的面積為S1.正方形的面積為S2． (1)用a.表示S1和S2, (2)當a固定.變化時.求取最小值時的角． 講解 (1)∵ ∴ 設正方形邊長為x. 則BQ= (2)當固定.變化時. 令 令 任取.且. ． . 是減函數． 取最小值.此時 點評 三角函數有著廣泛的應用.本題就是一個典型的范例．通過引入角度.將圖形的語言轉化為三角的符號語言.再通過局部的換元.又將問題轉化為我們熟知的函數．這些解題思維的拐點.你能否很快的想到呢? l 針對性演練 【查看更多】

 

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