已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），當x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）時，f（x）＞0，當x∈（-2，0）時，f（x）＜0，且對任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設函數F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在時的最大值H（t）；
（III）在（II）的條件下，若關于的函數y=log₂[p-H（t）]的圖象與直線y=0無公共點，求實數的取值范圍．