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.(本小題滿分14分)

設(shè)函數(shù).其中為常數(shù).

（Ⅰ）證明：對任意，的圖象恒過定點；

(Ⅱ) 設(shè)，若為定義域上的增函數(shù)，求的最大值；

（Ⅲ）當時，函數(shù)是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由.

本小題滿分14分）

（Ⅰ）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題.

注：當為正有理數(shù)時，有求導公式.

（本小題滿分14分）已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)f_n(x)=xⁿ，n∈N^*，其導函數(shù)記為，且滿足，a，x₁，x₂為常數(shù),x₁≠x₂．
(1)試求a的值；
(2)記函數(shù)，x∈（0，e]，若F(x)的最小值為6，求實數(shù)b的值；
(3)對于(2)中的b，設(shè)函數(shù)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁<x₂)是函數(shù)g(x)圖象上兩點，若，試判斷x₀，x₁，x₂的大小，并加以證明．

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，數(shù)列滿足，；數(shù)列滿足，，其中為數(shù)列前幾項和，
（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，證明．

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)在上有定義，對任意實數(shù)和任意實數(shù)，都有.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明（其中k和h均為常數(shù)）；

（Ⅲ）當（Ⅱ）中的時，設(shè)，討論在內(nèi)的單調(diào)性.