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已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的動點．
（1）當E恰為棱CC₁的中點時，試證明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一個點E，可以使二面角A₁-BD-E的大小為45°？如果存在，試確定點E在棱CC₁上的位置；如果不存在，請說明理由．

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．
（1）求證：C₁O∥面AB₁D₁；
（2）求異面直線AD₁與 C₁O所成角的大小．

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P在平面DD₁C₁C內，PD₁=PC₁=

2

．求證：
（1）平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC；
（2）PC₁∥平面A₁BD．

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BB₁、CC₁的中點，那么直線AE與D₁F所成角的余弦值為（　　）

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，則四面體A₁-C₁BD在面A₁B₁C₁D₁上的正投影的面積與該四面體表面積之比是．