題目列表(包括答案和解析)
在棱長為
的正方體
中,
是線段
的中點,
.
(1) 求證:
^
；
(2) 求證://平面
；
(3) 求三棱錐
的表面積.
【解析】本試題考查了線線垂直和線面平行的判定定理和表面積公式的運用。第一問中，利用
，得到結論，第二問中，先判定
為平行四邊形，然后
，可知結論成立。
第三問中，
是邊長為
的正三角形，其面積為
，
因為
平面
，所以
，
所以
是直角三角形，其面積為
，
同理
的面積為
，
面積為
. 所以三棱錐的表面積為
.
解: (1)證明：根據正方體的性質
，
因為
，
所以
，又
，所以，
，
所以^.
………………4分
(2)證明：連接
，因為
，
所以為平行四邊形，因此
，
由于是線段的中點，所以， …………6分
因為
面，
平面，所以∥平面. ……………8分
(3)是邊長為的正三角形，其面積為，
因為平面，所以，
所以是直角三角形，其面積為，
同理的面積為，
……………………10分
面積為. 所以三棱錐的表面積為
已知數列
滿足
且對一切
,
有
（Ⅰ）求證：對一切
（Ⅱ）求數列通項公式.
（Ⅲ）求證：
【解析】第一問利用，已知表達式，可以得到
，然后得到
，從而求證
。
第二問
，可得數列的通項公式。
第三問中，利用放縮法的思想，我們可以得到
然后利用累加法思想求證得到證明。
解: (1) 證明:
已知函數
，數列
的項滿足：
，（1）試求
（2） 猜想數列
的通項，并利用數學歸納法證明.
【解析】第一問中，利用遞推關系
, 
, 
第二問中，由（1）猜想得：
然后再用數學歸納法分為兩步驟證明即可。
解: (1) ,
, …………….7分
（2）由（1）猜想得：
（數學歸納法證明）i) 
,
,命題成立
ii) 假設
時，
成立
則
時，
綜合i),ii) : 成立
已知函數
, 其中
.
（1）當
時，求曲線
在點
處的切線方程；
（2）當
時，求曲線的單調區間與極值.
【解析】第一問中利用當時，
，
，得到切線方程
第二問中，
對a分情況討論，確定單調性和極值問題。
解: (1) 當時，，
………………………….2分
切線方程為: 
…………………………..5分
(2)
…….7
分
分類: 當
時, 很顯然
的單調增區間為: 
單調減區間: 
,
, 
………… 11分
當
時的單調減區間: 
單調增區間: 
,
,
(a、b為常數,a≠0),f(2)=1,且f(x)=x有唯一解.(1)求f(x)的表達式;
(2)設x1=2,xn=f(xn-1)(n=2,3,…),求證:數列{
}成等差數列;
(3)在條件(2)下,求{xn}的通項公式.
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