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過雙曲線＝1的右焦點F作不垂直于x軸的直線交雙曲線于M，N兩點，MN的中垂線交x軸于R，求證：為定值．

在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中，F為右焦點，B為左頂點．點A在x軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數列．過F作C位于一、三象限內的漸近線的垂線，垂足為P．
（1）求證：

PA

•

OP

=

PA

•

FP

；
（2）若

|OB|

|OA|

=2，|FP|=2

3

，過點（0，-2）的直線l與雙曲線C交于不同兩點M與N，O為坐標原點．求

OM

•

ON

的取值范圍．

已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F（，0），
一條漸近線的方程為，點P為雙曲線上不同于A、B的任意一點，過P作x軸的垂線交雙曲線于另一點Q．
（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過點N（l，0）作直線l與（Ⅱ）中軌跡E交于不同兩點R、S，已知點T（2，0），設的取值范圍．

已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F（，0），
一條漸近線的方程為，點P為雙曲線上不同于A、B的任意一點，過P作x軸的垂線交雙曲線于另一點Q．
（I）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）求直線AP與直線BQ的交點M的軌跡E的方程；
（Ⅲ）過點N（l，0）作直線l與（Ⅱ）中軌跡E交于不同兩點R、S，已知點T（2，0），設的取值范圍．

在雙曲線中，F為右焦點，B為左頂點．點A在x軸正半軸上，且滿足|OA|，|OB|，|OF|成等比數列．過F作C位于一、三象限內的漸近線的垂線，垂足為P．
（1）求證：；
（2）若，，過點（0，-2）的直線l與雙曲線C交于不同兩點M與N，O為坐標原點．求的取值范圍．