黑龍江省哈爾濱市第六中學2009屆高三第一次模擬考試
數學理科試卷
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ 卷(非選擇題)兩部分，滿分150分，考試用時120分鐘；
第Ⅰ卷（選擇題 滿分60分）
一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）．
1．已知集合
，則
為 （ ）
A．
B． 
C． 
D．
2．若復數
（a∈R，i為虛數單位）是純虛數，則實數a的值為 （ ）
A．－2 B．
3．函數
的圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是 （ ）
A、
B、 
C、
D、
4．已知向量
，
(1, 
)，則
的最小值是
（ ）
A．1 B．
C．
D．2
5．已知數列
為等差數列，且
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下面給出四個命題：
① 直線
與平面
內兩直線都垂直，則
；
② 經過直線
有且僅有一個平面垂直于直線
；
③ 過平面外兩點，有且只有一個平面與垂直；
④ 直線同時垂直于平面、
，則∥；其中正確的命題個數為 （ ）
A、0 B、
7．一次文藝演出中，需要給舞臺上方安裝一排完全相同的彩燈共15只，以不同的點亮方式增加舞臺
效果，設計者按照每次點亮時，恰好有6只是關的，且相鄰的燈不能同時被關掉，兩端的燈必須點
亮的要求進行設計，那么不同點亮方式的種數是 （ ）
A．28 B．
8．直線
與圓
的位置關系是
（ ）
A．相交 B．相離 C．相切 D．與
、
的取值有關
9．已知x，y滿足
，
的最大值為
，最小值為
，
則a的范圍為 （ ）
A 
B 
C 
D 
10．若
, 則
與
的大小關系是
( )
A．
B．
C．
D．不能確定
11．橢圓
的中心、右焦點、右頂點、右準線與
軸的交點依次
為
，則
的最大值為
（ ）
A．
B．
C．
D．不能確定
12．如圖，已知平面
平面，
、
是平面與平面的交線上的兩個定點，
，且
，
，
，
，
，在平面內有一個動點
，使得
，則
的面積的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 （非選擇題 滿分90分）
把答案填寫在答題紙相應位置上．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．二項式
的展開式中常數項為 ；
14．在四面體ABCD中，三組對棱棱長分別相等且依次為
、
、5，則此四面體ABCD的外接球的半徑R為 ；
15．已知
分別為雙曲線
的左右焦點，為雙曲線左支上的
一點，若
，則雙曲線的離心率的取值范圍是
；
16．對于函數
（為常數，且
），給出下列命題：
① 函數
的最小值為-1；
②
函數在每一點處都連續；
③ 函數在R上存在反函數；
④ 函數在
處可導；
⑤ 對任意的實數
且
，恒有
；
其中正確命題的序號是 ；
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本題滿分10分）
在
中，角
的對邊分別為
，
，
，且
；
（1）求角的大小；
（2）當
取最大值時，求角的大小；
18. （本題滿分12分）
一袋中裝有分別標記著1、2、3、4數字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球,
取出后放回, 連續取三次, 設三次取出的球中數字最大的數為
；
（1）求
時的概率；（2）求的概率分布列及數學期望；
19. （本小題滿分12分）
如圖：直平行六面體，底面ABCD是邊長為
（1）求證：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點到平面的距離；
20. （本題滿分12分）
已知函數
；
（1）
；
（2）若對于任意
，不等式
恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若關于x的方程
在
上恰有兩個不同的實根,求實數b的取值范圍；
21. （本題滿分12分）
已知數列
中，
，且
；
（1）求證：
；
（2）設
，是數列
的前
項和，求的解析式；
（3）求證：不等式
對于
恒成立；（（3）問只理科生做，文科生不做）
22．（本題滿分12分）
在△ABC中，
，B是橢圓
的上頂點，l是雙曲線
位于x軸下方的準線，當AC在直線l上運動時．
（1）求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；
（2）過定點F(0，
)作互相垂直的直線l1、l2，分別交軌跡E于M、N和R、Q；
求四邊形MRNQ的面積的最小值；
哈爾濱市第六中學2009屆高三第一次模擬考試
理科數學試卷答案
三、解答題：
17．（本題滿分10分）
在中，角的對邊分別為，
，
，且
；
⑴求角的大小；
⑵當取最大值時，求角的大小；
解：⑴由，得
，從而
由正弦定理得
，
，
（4分）
⑵
由
得，
時，
即
時，
取最大值
（10分）
18. （本題滿分12分）
一袋中裝有分別標記著1、2、3、4數字的4個球, 從這只袋中每次取出1個球, 取出后放回, 連續取三次, 設三次取出的球中數字最大的數為.
（1）求時
的概率；（２）求的概率分布列及數學期望.
18. 解：（解法一 ）（１）表示取出的三個球中數字最大者為3．
①三次取球均出現最大數字為3的概率
②三取取球中有2次出現最大數字3的概率
③三次取球中僅有1次出現最大數字3的概率
∴
． ……………………………………4分
（２）在
時, 利用（１）的原理可知：
,(
=1,2,3,4)
１
２
３
４
的概率分布為：
=1×＋2×＋3×＋4× = ．…………………………………………12分
（解法二）（１）表示取出的三個球中數字最大者為3．
． ……………………………………4分
（２）在時, 利用（１）的原理可知：
,(=1,2,3,4)
１
２
３
４
的概率分布為：
=1×＋2×＋3×＋4× = ．………12分
19．（本大題滿分12分）
如圖：直平行六面體，底面ABCD是邊長為
（1）求證：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點到平面的距離；
（I）證明：連結BD，在菱形ABCD中：∠BAD＝60°
∴△ABD為正三角形 ∵E為AB中點，∴ED⊥AB
在直六面體中：平面⊥平面ABCD且交于AB
∵面ABCD ∴ED⊥面 ∴平面⊥平面………3分
（II）解：（解法一）由（I）知：ED⊥面 ∵面，∴
直平行六面體中：⊥面ABCD 由三垂線定理的逆定理知：AE⊥ED
∴∠A1EA為二面角的平面角 ∴
取中點F，連EF、，則：
在直平行六面體中：
∴E、F、C1、D四點共面 ∵ED⊥面ABB
∴∠A1EF為二面角的平面角………………5分
在中：
在中：
在中：………………7分
∴在中，
∴二面角的余弦值為………………8分
（解法二）由已知得：二面角為
可證得：∠C1DC為二面角的平面角 求得：
故二面角的大小為
所以，二面角的余弦值為 ………………8分
（III）過F作FG⊥A1E交于G點
∵平面A1ED⊥平面ABB
∴FG⊥面，即：FG是點F到平面A1ED的距離；
在中：
；
且E、D面 ∴C1到平面的距離為：……12分
20． (本大題滿分12分)
已知函數．
（1）。
（2）若對于任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍。
（3）若關于x的方程在上恰有兩個不同的實根,求實數b的取值范圍。
解：（Ⅰ）
（1分）
令
得
或
（舍去）
列表得： 
為函數在上的極大值,無極小值；（4分）
（Ⅱ）由
，可得
或
即
或
由（Ⅰ）當
時，
，
∵恒成立，∴
∵恒成立，∴
∴的取值范圍為：
或
（8分）
（Ⅲ）由
令
（或令
求也可）
則
令
得 
或
（舍去）
當
時，
，于是
在
上遞增
當
時，
，于是在上遞減
而
∴
即
在恰有兩個不同實根等價于
由此得：
（12分）
21. （本題滿分12分）
已知數列中，，且
（1）求證：；
（2）設，是數列的前項和，求的解析式；
（3）求證：不等式對于恒成立。
（1）
，
又因為
，則
，即
，又
，
，
…………………………………….4分
（2）
，
…….5分
因為
，所以當
時，
….6分
當
時，
，①
，②
①-②：
，
.綜上所述，
……………8分
（3）
，
又
，易驗證當
時不等式成立；
假設
，不等式成立，即
，兩邊乘以3得
又因為
所以
即
時不等式成立.故不等式恒成立……………………………………..12分
22．（本題滿分12分）
在△ABC中，，B是橢圓的上頂點，l是雙曲線位于x軸下方的準線，當AC在直線l上運動時．
(1) 求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；
(2) 過定點F(0，)作互相垂直的直線l1、l2，分別交軌跡E于M、N和R、Q．
求四邊形MRNQ的面積的最小值．
(1)解：（解法一）由橢圓方程及雙曲線方程可得點B(0，2)，
直線l的方程是
． 
，且AC在直線l上運動.
可設
，
則AC的垂直平分線方程為
①
AB的垂直平分線方程為
②
∵P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標(x，y)滿足方程①和②.
由①和②聯立消去m得：
，即
.
故圓心P的軌跡E的方程為
6分
（解法二）利用直線被圓截得的弦長公式（勾股定理）求軌跡方程也可；
(2)解：如圖，直線l1和l2的斜率存在且不為零，設l1的方程為
∵l1⊥l2，∴l2的方程為
由
得
，∴直線l1與軌跡E交于兩點.
設M(x1，y1)， N(x2，y2)，則
∴
同理可得：
9分
∴四邊形MRNQ的面積
≥
當且僅當
，即
時，等號成立.故四邊形MRNQ的面積的最小值為72．12分
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