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1.一個與自然數n有關的命題當n=2時成立,且由n=k時成立可以推得n=k+2時也成立,則(  )

A.該命題對于n＞2的自然數n都成立

B.該命題對于所有的正偶數都成立

C.該命題何時成立與k取什么值有關

D.以上答案都不對

答案B

2.在應用數學歸納法證明凸n邊形的對角線為(n-3)條時,第一步應驗證n等于(    )

A.0                B.1                 C.2                  D.3

答案 D

3.某個命題與正整數n有關,若n=k(k∈N*)時,該命題成立,那么可推得n=k+1時,該命題也成立.現在已知當n=5時,該命題不成立,那么可推得(    )

A.當n=6時該命題不成立                        B.當n=6時該命題成立

C.當n=4時該命題不成立                        D.當n=4時該命題成立

分析 本題借助數學歸納法考查四種命題間的關系,即原命題與其逆否命題等價,逆命題與否命題等價.

解 ∵n=k時命題成立n=k+1時命題成立,

其逆否命題是“n=k+1時命題不成立n=k時命題不成立”,

∴n=5時命題不成立n=4時命題不成立.

答案 C

4.用數學歸納法證明“1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1(n∈N*)”的過程中,第二步假設n=k時等式成立,則n=k+1時應得到(    )

A.1+2+2²+…+2^k-1=2^k+1-1

B.1+2+2²+…+2^k+2^k+1=2^k-1+2^k+1

C.1+2+2²+…+2^k-1+2^k+1=2^k+1-1

D.1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k

答案 D

5.設凸k邊形的內角和為f(k),則凸k+1邊形的內角和f(k+1)=f(k)+(    )

A.2π               B.π                  C.                    D.

解析 因為增加一條邊,凸多邊形的內角和將增加一個三角形的內角和,所以凸多邊形的內角和將增加π.

答案 B

6.對于不等式＜n+1(n∈N*),某同學的證明過程如下:

(1)當n=1時, ＜1+1,不等式成立.

(2)假設當n=k(k∈N*)時,不等式成立,即＜k+1,則當n=k+1時, ＜,

∴當n=k+1時,不等式成立.

上述證法(    )

A.過程全部正確

B.n=1驗得不正確

C.歸納假設不正確

D.從n=k到n=k+1的推理不正確

解析 用數學歸納法證題的關鍵在于合理運用歸納假設.

答案 D

7.下列代數式能被9整除(其中k∈N*)的是 (    )

A.6+6?7^k               B.2+7^k-1              C.2(2+7^k+1)             D.3(2+7^k)

分析 本題考查用數學歸納法證明整除性問題.

解 (1)當k=1時,顯然只有3(2+7^k)能被9整除.

(2)假設當k=n時,命題成立,即3(2+7ⁿ)能被9整除,那么3(2+7ⁿ⁺¹)=21(2+7ⁿ)-36.

這就是說,k=n+1時命題也成立.

由(1)、(2)可知,命題3(2+7^k)對任何k∈N*都成立.

答案 D

8.設f(n)=,n∈N*,那么f(n+1)-f(n)等于(    )

A.                         B.

C.+                 D.-

分析 用數學歸納法證明有關問題時,分清等式兩邊的構成情況是解題的關鍵.顯然,當自變量取n時,等式的左邊是n項和的形式.

解答案 D

9.使得多項式81x⁴+108x³+54x²+12x+1能被5整除的最小自然數x為(    )

A.1                 B.2                  C.3                     D.4

分析 本題逆用二項式定理的展開式證明整除性問題.

解 ∵81x⁴+108x³+54x²+12x+1=(3x+1)⁴,

∴該式能被5整除的最小自然數x為3.

答案 C

10.★用數學歸納法證明不等式1+++…+＞成立,則n取的第一個值應為(   )

A.7                 B.8                 C.9                  D.10

分析 本題考查用數學歸納法證明不等式.

解 ∵1+++…+是首項為1,公比為的等比數列前n項的和,

∴1+++…+=1--=2-.

由2-＞,知＜,n最小取8.

答案 B

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

11.用數學歸納法證明“1+a+a²+…+aⁿ⁺¹=(a≠1且n∈N*)”,在驗證n=1時,左邊計算所得的結果是.

解析 本題考查數學歸納法的應用.用數學歸納法證題的前提是分清等式兩邊的構成情況.就本題而言,它的左邊是按a的升冪排列的,共有(n+2)項,故當n取第一個值時,共有1+2=3項,它們的和應是1+a+a².

答案 1+a+a²

12.用數學歸納法證明n∈N*時,3⁴ⁿ⁺²+5²ⁿ⁺¹被14整除的過程中,當n=k+1時,對3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1可變形為          .

分析 用數學歸納法證明整除性問題時,可把n=k+1時的被除式變形為一部分能利用歸納假設的形式,另一部分能被除式整除的形式.

解3^4(k+1)+2+5^2(k+1)+1=3^4k+6+5^2k+3=3^4k+6+3⁴?5^2k+1+5^2k+3-3⁴?5^2k+1=3⁴(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1.

答案 81(3^4k+2+5^2k+1)-56?5^2k+1

13.★在用數學歸納法證明1+2+2²+…+2^5n-1(n∈N*)是31的倍數的命題時,從k到k+1需要添加的項是            .

分析 分清被除數的構成情況是解決本題的關鍵.當自變量取n時,被除數是5n項的和,其指數從0依次增加到5n-1.

解 當n=k+1時,被除數為1+2+2²+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+…+2^5k+4,

從n=k到n=k+1增加的項為2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4.

答案 2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4

14.觀察下列式子:1+＜,1++＜,1+++＜,…,則可以猜想其結論為             .

解析 解答本類題的關鍵是分清所給式子的結構特點,確定出不等式右邊的項中分子、分母同項數的關系.

答案 1+++…+＜(n≥2)

15(本小題滿分8分)用數學歸納法證明2²+4²+6²+…+(2n)²=n(n+1)(2n+1).

分析 用數學歸納法證明代數恒等式的關鍵是分清等式兩邊的構成情況,合理運用歸納假設.

證明 (1)當n=1時,左邊=2²=4,右邊=×1×2×3=4,

∴左邊=右邊,即n=1時,命題成立.       1分

(2)假設當n=k(k∈N*)時命題成立,即

2²+4²+6²+…+(2k)²=k(k+1)(2k+1),      2分

那么當n=k+1時,

2²+4²+…+(2k)²+(2k+2)²=k(k+1)(2k+1)+4(k+1)²    3分

=(k+1)［k(2k+1)+6(k+1)］

=(k+1)(2k²+7k+6)

=(k+1)(k+2)(2k+3)

=(k+1)［(k+1)+1］［2(k+1)+1］,    6分

即n=k+1時,命題成立.              7分

由(1)、(2)可知,命題對所有n∈N*都成立.     8分

16.(本小題滿分8分)求證:aⁿ⁺¹+(a+1)^2n-1能被a²+a-1整除(n∈N*).

分析 數學歸納法可以證明與正整數n有關的命題,常見的恒等式、不等式的命題可用數學歸納法證明,其他的如整除、幾何方面的命題也可用數學歸納法證明.在證明n=k+1時,“配湊”的技巧掌握很重要,要有目的去“配湊”倍數式子,以及假設n=k時的式子.

證明 (1)當n=1時,a²+(a+1)=a²+a+1可被a²+a+1整除;

(2)假設n=k(k∈N*)時,

a^k+1+(a+1)^2k-1能被a²+a+1整除,     2分

則當n=k+1時,

a^k+2+(a+1)^2k+1

=a?a^k+1+(a+1)²(a+1)^2k-1

=a?a^k+1+a?(a+1)^2k-1+(a²+a+1)(a+1)^2k-1         5分

=a［a^k+1+(a+1)^2k-1］+(a²+a+1)(a+1)^2k-1,

由假設可知a［a^k+1+(a+1)^2k-1］能被a²+a+1整除.

∴a^k+2+(a+1)^2k+1也能被a²+a+1整除,       7分

即n=k+1時命題也成立.

∴對n∈N*原命題成立.                 8分

17.★(本小題滿分8分)已知數列,,,…,,…,計算S₁,S₂,S₃,S₄,根據計算結果,猜想S_n的表達式,并用數學歸納法進行證明.

分析 本題考查觀察、分析、歸納、發現規律的能力,考查數學歸納法在等式證明中的應用.在用觀察法求數列的通項公式時,要注意觀察項與項數的關系.

解 S₁==;

S₂=+=;

S₃=+=;

S₄=+=.

可以看到,上面表示四個結果的分數中,分子與項數n一致,分母可用項數n表示為3n+1.于是可以猜想.                    2分

下面我們用數學歸納法證明這個猜想.

(1)當n=1時,左邊=S₁=,

右邊===,

猜想成立.

(2)假設當n=k(k∈N*)時猜想成立,即

+++…+=,     4分

那么, +++…++

6分

所以,當n=k+1時猜想也成立.

根據(1)、(2),可知猜想對任何n∈N*都成立.        8分

18.(本小題滿分10分)用數學歸納法證明1+≤1+++…+≤+n(n∈N*).

分析 本題考查利用數學歸納法證明與正整數有關的不等式.合理運用歸納假設后,向目標靠攏的過程中,可以利用證明不等式的一切方法去證明.

證明 (1)當n=1時,左式=1+,

右式=+1,∴≤1+≤,命題成立.　　　　2分

(2)假設當n=k(k∈N*)時命題成立,即

1+≤1+++…+≤+k,　　　　4分

則當n=k+1時,

1+++…++++…+＞1++2^k?=1+.　　　6分

又1+++…++++…+＜+k+2k?=+(k+1),　　8分

即n=k+1時,命題成立.

由(1)、(2)可知,命題對所有n∈N*都成立.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

19.★(本小題滿分10分)楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家.他的數學著作頗多,他編著的數學書共5種21卷,在他的著作中收錄了不少現已失傳的古代數學著作中的算題和算法.他的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面.楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質與組合數的性質有關,楊輝三角中蘊涵了許多優美的規律.古今中外,許多數學家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過,并將研究結果應用于其他工作.下圖是一個11階的楊輝三角:

11階楊輝三角

試回答:(其中第(1)~(5)小題只需直接給出最后的結果,無需求解過程)

(1)記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個數為a_ij,則數列{a_ij}的通項公式為          ,

n階楊輝三角中共有           個數;

(2)第k行各數的和是;

(3)n階楊輝三角的所有數的和是;

(4)將第n行的所有數按從左到右的順序合并在一起得到的多位數等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去兩端的數字1以外的所有數都能被p整除,則整數p一定為(   )

A.奇數                B.質數              C.非偶數                D.合數

(6)在第3斜列中,前5個數依次為1、3、6、10、15;第4斜列中,第5個數為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實上,一般地有這樣的結論:

第m斜列中(從右上到左下)前k個數之和,一定等于第m+1斜列中第k個數.

試用含有m、k(m、k∈N*)的數學公式表示上述結論并證明其正確性.

數學公式為                   .

證明:                        .

解 (1)a_ij=    (2)2^k   (3)2ⁿ⁺¹-1   (4)11ⁿ    (5)B        5分

(6)

10分