四川省遂寧市2009屆高三第三次診斷性考試（數學理）
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第I卷1至3頁。第Ⅱ卷4至10頁。總分150分，考試時間120分鐘。考試結束后，將第Ⅱ卷和答題卡一并交回。
第I卷
注意事項：
1．答第I卷前，考生務必將自己的姓名、考號、學校、考試科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
參考公式：
如果事件
、
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件、相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次實驗中發生的概率為
，那么
次獨立重復實驗中恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
一、選擇題
1．若
為實數，
，則等于
A．
B．
C．
D．
2．函數
的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為
A．
B．
C．
D．
3．在
的展開式中的
系數等于
A．
B．
C．
D．
4．平面
平面
的一個充要條件是
A．存在一條直線
B．存在一個平面
C．存在一個平面
D．存在一條直線
5．直線
截圓
所得的弦長為
A．
B．
C．2
D．1
6．等差數列
的前
項和為
，若
，則
等于
A．
B．
C．0
D．1
7．若是實數
滿足
，則下列不等關系正確的是
A．
B．
C．
D．
8．如果以原點為圓心的圓必過雙曲線
的焦點，而且被雙曲線
的右準線分成2：1的兩段圓弧。那么該雙曲線的離心率為
A．
B．
C．
D．
9．北京2008年第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離 為
米（如圖所示），旗桿底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度約為50秒，升旗手勻速升旗的速度為
A．
（米/秒） B．
（米/秒）
C．
（米/秒） D．
（米/秒）
10．四面體
的外接球球心在
上，且
，
，在外接球面上
，
兩點間的球面距離是
A．
B．
C．
D．
11．已知正方體
中，
為
中點，棱長為2，
是平面上的動點，且滿足條件
，則動點在平面上形成的軌跡是
A．圓
B．橢圓
C．雙曲線
D．拋物線
12．若自然數使得作豎式加法
均不產生進位現象，則稱為“可連數”。例如：32是“可連數”，因32+33+34不產生進位現象；23不是“不連數”，因23+24+25產生進位現象，那么，小于1000的“可連數”的個數為
A．27
B．
遂寧市高中2009屆第三次診斷性考試
數 學（理工農醫類）
第Ⅱ卷
注意事項：
1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中；
2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚；
3．本卷共10小題，共90分。
題號
二
三
總分
17
18
19
20
21
22
分數
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。
13．已知
，則不等式
的解集為______________。
14．已知
，則
的最小值是_____________。
15．省實驗中學高三共有學生600人，一次數學考試的成績（試卷滿分150分）服從正態分布
，統計結果顯示學生考試成績在80分到100分之間的人數約占總人數的
，則此次考試成績不低于120分的學生約有__________________人。
16．下列四個命題中：
①將函數
的圖象按向量
平移得到的圖象對應的函數表達式為
；
②已知平面向量
，若
，則實數
；
③
、
、
是作用在同一質點上三個共面力，兩兩所成角相等，、、的大小分別是1N、2N、3N，那么質點P受到的合力大小是6N或N；
④
是銳角
的外心，則
其中是真命題的序號是________________________________________。
三、解答題：本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
已知向量
（I）當
時，求
的值；
（Ⅱ）求
在
上的值域。
18．（本小題滿分12分）
在某社區舉辦的《2008奧運知識有獎問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關奧運知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是
，甲、丙兩人都回答錯的概率是
，乙、丙兩人都回答對的概率是
（I）求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率；
（Ⅱ）求答對該題的人數
的分布列的和
。
19．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知直四棱柱中，
，
，且滿足
（I）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值。
20．（本小題滿分12分）
已知函數
（I）求
的單調區間；
（Ⅱ）若關于的方程
的區間
上有兩個相異實根，求實數的取值范圍（
是自然對數的底數）。
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓
的右準線
，右焦點
到短軸一個端點的距離為2，過動點A（4，m）引橢圓的兩條切線
、
，切點分別為P、Q
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線
過定點，并求出定點的坐標；
（Ⅲ）要使
最小，求
的值
22．（本小題滿分14分）
已知數列滿足
（I）求
，
的值；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
（Ⅲ）記
，若對于任意正整數都有
成立，
求實數
的取值范圍。
遂寧市高中2009屆第三次診斷性考試
一、選擇題（每小題5分，滿分60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
C
D
A
C
A
B
A
C
A
D
二、填空題（每小題4分，滿分16分）
13．
14．
15．100
16．③④
三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）
17．（I）
（Ⅱ）
函數
的值域為
18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件
、、
，則
，且有
即
（Ⅱ）
的可能取值：0，1，2，3
0
1
2
3
19．（I）設
是
的中點，連結
，
則四邊形
為方形，
，故
，
即
又
平面
（Ⅱ）由（I）知
平面，
又
平面，
，
取
的中點
，連結
又
，
則
，取
的中點
，連結
則
為二面角
的平面角
連結
，在
中，
，
取
的中點
，連結
，
，在
中，
二面角的余弦值為
法二：
（I）以
為原點，
所在直線分別為
軸，
軸，
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
又因為
所以，平面
（Ⅱ）設
為平面
的一個法向量。
由
得
取
，則
又
，
設
為平面
的一個法向量，由
，
，
得
取
取
設
與的夾角為
，二面角為
，顯然為銳角，
，即為所求
20．解：（I）定義域為
時，
時，
故
的單調遞增區間是
，單調遞減區間是
（Ⅱ）
即：
令
所以
在
單調遞減，在
上單調遞增
在
上有兩個相異實根
21．解：（I）由題意知：
橢圓的方程為
（Ⅱ）設
切線
的方程為：
又由于
點在
上，則
同理：
則直線
的方程：
則直線過定點（1，0）
（Ⅲ）
就是A到直線PQ的距離d的
取得等號
的最小值是
22．解：（I）
（Ⅱ）原式兩邊取倒樹，則
上式兩邊取對數，則
解得
（Ⅲ）
由題中不等式解得，
對于任意正整數均成立
注意到
，構造函數
則
設函數
由
對
成立，得
為
上的減函數，
所以
即對成立，因此為上的減函數，
即
，故
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