2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷文科數(shù)學(xué)
（五）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題．每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只
有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合
，則
A．
B．
C．
D．
2．已知函數(shù)
是定義在
上的奇函，當(dāng)
時(shí)，
，那么
的值
為
A．2 B．
C．0 D．
3．函數(shù)
在
上恒有
，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是
A．（1，2） B．
C．
D．
4．已知直線
與橢圓
總有交點(diǎn)，則m的取值范圍為
A．（1，2] B．[1，2）
C．
D．
5．從5名羽毛球隊(duì)員中選3人參加團(tuán)體比賽，其中甲在乙之前出場(chǎng)的概率為
A．
B．
C．
D．
6．已知
，則
A．1 B．
C．
D．2
7．已知
的展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則展開(kāi)式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是
A．1 B．
有關(guān)
8．使函數(shù)
是奇函數(shù)，且在
上是減函數(shù)的
的
一個(gè)值是
A．
B．
C．
D．
9．已知
表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)（0，0）和（，1），則
的取值范圍是
A．（
，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）
10．橢圓
的左準(zhǔn)線為
，左、右焦點(diǎn)分別為
、
，拋物線
的準(zhǔn)線為，
焦點(diǎn)是，與
的一個(gè)交點(diǎn)為
，則
的值等于
A．
B．
C．4 D．8
11．一副撲克牌去掉兩張王后還有52張，將牌發(fā)給4個(gè)人，每人13張，則某人獲得的13
張牌中花色齊全的全部情況數(shù)為
A．
B．
C．
D．
12．如圖甲所示，四邊形
中，
，將
沿
折起，使平面
平面
，構(gòu)成三棱錐
，如圖乙所示，則二面角
的正切值為
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．不等式
的解集是
．
14．已知過(guò)球面上
、
、
三點(diǎn)的截面和球心的距離是球直徑的
，且
，
則球面的面積為
．
15．設(shè)直線
與圓
的交點(diǎn)為
，當(dāng)
、
取最小值
時(shí)，實(shí)數(shù)的值為
．
16．給出下面四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是
（填出所有正確命題的序號(hào)）．
① 若
，則
；
② 函數(shù)
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/docfiles/down/test/down/6556977573ab79b844c6cb2d38dd862f.zip/73589.files/image017.gif" >；
③ 數(shù)列
一定為等比數(shù)列；
④ 兩個(gè)非零向量
，若
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
在
中，、
、
分別是角、、的對(duì)邊，且
、
、
，若
，試判斷三角形的形狀．
18．（本小題滿分12分）
某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為
，壽命為2年以上的概率為
，從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換．
（1）在第一次燈泡更換工作中，求不需要更換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；
（2）第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率；
（3）當(dāng)
時(shí)，求在第二次燈泡更換工作中，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）
19．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
圖象上的點(diǎn)
處的切線方程為
．
（1）若函數(shù)在
時(shí)有極值，求的表達(dá)式；
（2）函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
20．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知正四棱柱
的底面邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)
在棱
上，
平面
，截面的面積為
．
（1）求
與底面所成角的大小；
（2）若
與的交點(diǎn)為
，點(diǎn)
在
上，且
，求
的長(zhǎng)．
21．（本小題滿分12分）
如圖所示，已知橢圓的方程為
，點(diǎn)
的坐標(biāo)滿足
．過(guò)點(diǎn)的直線橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)
為線段
的中點(diǎn)．求：
（1）點(diǎn)的軌跡方程；
（2）點(diǎn)的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
22．（本小題滿分12分）
已知數(shù)列
的前項(xiàng)和
（1）用、
表示
；
（2）數(shù)列
對(duì)任意正整數(shù)，均有
，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（3）在（1）、（2）中，設(shè)
，求證：
．
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．C 12．D
【解析】
3．當(dāng)
時(shí)，函數(shù)
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
當(dāng)
時(shí)，函數(shù)在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，對(duì)于任意
恒成立
所以
，綜上得
．
4．解法一：聯(lián)立
，得
．
方程總有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范圍為
．
解法二：數(shù)形結(jié)合，因?yàn)橹本�
恒過(guò)定點(diǎn)（0，1），要使直線與橢圓
總有交點(diǎn)當(dāng)日僅當(dāng)點(diǎn)（0，1）在橢圓上或橢圓內(nèi)，即
又
的取值范圍為．
5．
7．展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)滿足
可解得
，或
（舍去）．從而可知有理項(xiàng)為
，故C正確．
8．
，欲使
為奇函數(shù)，須使
，觀察可知，
、
不符合要求，若
，則
，其在
上是減函數(shù)，故B正確
當(dāng)
時(shí)，
，其在上是增函數(shù)，不符合要求．
9．
等價(jià)于
畫(huà)圖可知
，故
．
10．如圖乙所示．設(shè)
，點(diǎn)
到直線
的距離為
，則由拋物線定義得
，
又由點(diǎn)在橢圓上，及橢圓第一定義得
由橢圓第二定義得
，解之得
．
11．從52張牌中任意取13張牌的全部取法為
；缺少某一種花色的取法為
，缺少兩種花色的取法為
，缺少三種花色的取法為
，根據(jù)容斥原理可知四種花色齊全的取法為
．
12．設(shè)
中點(diǎn)為
，連
．由已知得
平面
，作
，交
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
，連
．則
為所求，設(shè)
，則
，在
中可求出
，則
．
二、填空題
13．
．
提示：可以用換元法，原不等式為
也可以用數(shù)形結(jié)合法．
令
，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖直觀得解集．
14．12
．提示：經(jīng)判斷，
為截面團(tuán)的直徑，再由巳知可求出球的半徑為
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，當(dāng)
時(shí)，
取得最小值．
16．①②④
三、解答題
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化簡(jiǎn)得
為等邊三角形．
說(shuō)明；本題是向量和三角相結(jié)合的題目，既考查了向量的基本知識(shí)，又考查了三角的有關(guān)知識(shí)，三角形的形狀既可由角確定。也可由邊確定，因此既可從角入手，把邊化為角；也可從邊入手，把角化為邊來(lái)判斷三角形的形狀．
18．解：（1）在第一次更換燈泡工作中，不需要更換燈泡的概率為
需要更換2只燈泡的概率為
．
（2）對(duì)該盞燈來(lái)說(shuō)，在第1、2次都更換了燈泡的概率為
，在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為
，故所求的概率為
．
（3）當(dāng)
時(shí)，
由（2）知第二次燈泡更換工作中，某盞燈更換的概率
故至少換4只燈泡的概率為
19．解：
]
因?yàn)楹瘮?shù)在
處的切線斜率為
所以
即
①
又
得
②
（1）函數(shù)在
時(shí)有極值
③
解式①②③得
所以
．
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)
在區(qū)間的值恒大于或等于零．
則
得
，所以實(shí)數(shù)
的取值范圍為
．
20．解：（1）連接
因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/6556977573ab79b844c6cb2d38dd862f.zip/73589.files/image231.gif" >平面
，平面
平面
所以
；又
為
的中點(diǎn)，故為
的中點(diǎn)
底面
為
與底面所成的角
在
中，
所以與底面所成的角為45°．
（2）解法一；如圖建立直角坐標(biāo)系
則
， 
設(shè)
點(diǎn)的坐標(biāo)為
故
點(diǎn)的坐標(biāo)為
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）設(shè)點(diǎn)、
的坐標(biāo)分別為
、
，點(diǎn)
的坐標(biāo)為
當(dāng)
時(shí)，設(shè)直線的斜率為
直線過(guò)點(diǎn)
的方程為
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+式④得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程
⑦
當(dāng)
時(shí)，不存在，此時(shí)平行于
軸，因此的中點(diǎn)一定落在
軸上，即的坐標(biāo)為
,顯然點(diǎn)（
，0）滿足方程⑦
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程
設(shè)方程⑦所表示的曲線為
則由
,
得
因?yàn)?img src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/6556977573ab79b844c6cb2d38dd862f.zip/73589.files/image674.gif" >，又已知
，
所以當(dāng)
時(shí)．
，曲線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)
時(shí)，
，曲線與橢圓沒(méi)有交點(diǎn)，因?yàn)椋?，0）在橢圓內(nèi)，又在曲線上，所以曲線在橢圓內(nèi)，故點(diǎn)的軌跡方程為
（2）由
解得曲線與軸交于點(diǎn)（0，0），（0，）
由
解得曲線與軸交于點(diǎn)（0，0）．（，0）
當(dāng)
，即點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，（，0）、（0，）與（0．0）重合，曲線與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．
當(dāng)
，且
，即點(diǎn)不在橢圓外且在除去原點(diǎn)的軸上時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（0，）與（0，0），同理，當(dāng)
且
時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)（，o）、（0，0）．
當(dāng)，且時(shí)，即點(diǎn)不在橢圓且不在坐標(biāo)軸上時(shí)，曲線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（，0）、（0，）與（0，0）．
22．（1）解：
，又
是以首項(xiàng)為
，公比為
的等比數(shù)列．
．
（2）證明：設(shè)數(shù)列
的公比為
，則條件等式可化為：
數(shù)列
為等差數(shù)列，
（3）證明：由題意知
①
式①
得
②
式①-式②得
．
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