重慶八中高2009級高三下第一次月考
數學試題（文科）
一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．集合
，則
（ ）
2．若點
是平面
外一點，則下列命題中正確的是（ ）
A.過點只能作一條直線與平面相交 B.過點可作無數條直線與平面垂直
C.過點只能作一條直線與平面平行 D.過點可作無數條直線與平面平行
3．經過圓
的圓心
，且與直線
垂直的直線方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.如圖，在長方體ABCD-A1B
A.
B.
C.
D.
5.右圖為函數
的圖象，其中
為常數，則下列結論正確的是
（ ）
 |
A． 
B．
C． 
D．
6．若函數
的值恒等于
，則點
關于原點對稱的點的坐標是（ ）
A．
；
B．
；
C．
； D．
7．正數
、
的一個等差中項為
，一個等比中項為
，則
的焦點坐標為（
）
A. 
B.
C.
D.
8．已知函數
，
，則
是
的（
）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
9．若
、
滿足不等式組
，且
的最小值為
，則
（ ）
A．
B． 
C．
D．
10．已知數列
、
都是公差為1的等差數列，其首項分別為
、
，且
，
．設
（
），則數列
的前10項和等于（ ）
A．55 B．
11.平面直角坐標系中，
為坐標原點，已知點
，若點
滿足
，且
，則
的最大值為（ ）
12．雙曲線
的右支上存在一點，它到右焦點及左準線的距離相等，則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分．
13．
最小正周期為
，其中
，則
_______________
14.已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱底面邊長為，體積為
，則這個球的表面積是________________
15．若
且滿足條件
，則二次函數
（為非常數）的值域為_________________
16．已知三棱錐
的三條側棱
、
、
的長分別為、、
，且兩兩垂直，并滿足
,當三棱錐體積最大時，側面
與底面
成
，則三棱錐體積最大時
__________________
三、解答題：本題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．如圖，在四棱錐
中，底面
是邊長為2的菱形， 
, 
,
為
的中點，
為
的中點,
（1）證明：直線
；
（2）求異面直線AB與MD所成角的余弦值；
（3）求點B到平面OCD的距離。
18.在
中，
分別是角
的對邊，且
（1）求角
的大小
（2）若
，
，求的面積
19．三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為
，
，
平面，
，
，
為中點．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
20.已知函數
，且
的圖像按向量
平移后得到的圖像關于原點對稱.
（1）求的解析式；
（2）設
.求證：
.
21．已知A1、A2、B是橢圓
的頂點（如圖），直線
與橢圓交于異于橢圓頂點的P、Q兩點，且//A2B。若此橢圓的離心率為
（I）求此橢圓的方程；
（II）設直線A1P和直線BQ的傾斜角分別為
是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由。
22．由函數
確定數列
，
，若函數的反函數
確定數列
，且
，則稱數列是數列的“反數列”
⑴若函數
確定數列的反數列為，求的通項公式；
⑵對⑴式中，不等式
對任意的正整數
恒成立，求實數的取值范圍；
⑶設
，若數列
的反數列為
，設與的公共項組成的數列為
，求數列的前項和
.
一選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
D
D
B
D
B
A
C
D
C
提示：10．解：數列
、
都是公差為1的等差數列，其首項分別為
、
，且
，
．設（
），則
，所以
是等差數列，所以的前
項和
11．由題
，消去
可得：
，又由題有：
，由以上條件可得：點
的軌跡為如圖所示的線段
，而
表示點到坐標原點的距離的平方，所以
12．設點
到左準線的距離為
，則由雙曲線的第二定義有：
，由題有
，所以
，又由第一定義
（在右支上），所以
，
，又由點在右支上，則
，
，解得：
，而
，所以
二．填空題
13． 14． 
15．
16． 1
提示：15．
，
， 
在
單調遞減，
16．如圖，設三棱錐得體積為
,
，當且僅當
時三棱錐體積最大，過點
作
,連接
，由題可知
平面
,由三垂線定理可知
為側面
與底面
成的角，所以
，而用等面積法可知：
，
，所以
，代入
，得
三．解答題
17．解：（1）取OB中點E，連接ME，NE
…………………………………………2分
又
…………………………………4分
…………………………………………………………5分
（2）連接
為異面直線與
所成的角（或其補角）…7分
由于
，所以
,
,
為等腰三角形，
……………………………………………………9分
（3）解法一：連接
，設點B到平面OCD的距離為
，
由
,
,
,
為等腰三角形，
的高為
，
………11分
又
，又
點B到平面OCD的距離為
…………………………………………13分
解法二：
點A和點B到平面OCD的距離相等，取
的中點P連
接OP,過點作
于點Q，
，又
又 
,
線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離, ………………………………12分
由題可知：,
,在
中
.……13分
18．解：
在
中，
………………………………3分
……5分
……………7分
(2)由余弦定理得
，又由已知和（1）可知：
…………………………10分
………………………………13分
19．解：（Ⅰ）
平面
平面，
…………2分
在
中，
，
為
中點
．……………4分
平面
，平面
平面
．……………6分
（Ⅱ）如圖，作
交
于
點，連接
，
由已知得
平面
．
是在面內的射影．
由三垂線定理知
，
為二面角
的平面角．……………9分
過
作
交
于
點，則
，
，
．在
中，
．…………11分
在
中，
．
，
即二面角為
．………………………………13分
20．解答：（1）
，
，又因為
按向量
平移后得函數
……..2分
由g(x)圖像關于原點對稱得g(-x)=-g(x),即
,
,
…………………………………………………...4分
由
當
（舍）所以
…….6分
（2）證明：因為
所以
……………………………………8分
故
……………………………………9分
又
……………………12分
所以
.……………………………………13分
21．解：（I）由已知可得
……2分 所以
…3分 橢圓方程為
……5分
（II）
，且定值為
由（I），A2（2，0），B（0，1），且
//A2B
所以直線的斜率
………………………………6分
設直線的方程為
解得：
即
………………………………………………8分
……………………9分
又因為
又
是定值。…………12分
22．（1）
（
為正整數），
所以數列
的反數列為
的通項
（為正整數）. …………3分
（2）對于（1）中，不等式化為
.
設
，
，
∴數列
單調遞增, 所以, 
，要使不等式恒成立，只要
.
∵
，∴
，又
,
所以，使不等式對于任意正整數恒成立的
的取值范圍是
.…………7分（3）設公共項
為正整數.
①當
為奇數時，
. 
，
則
（表示
是的子數列），
.所以
的前項和
.
② 當為偶數時，
.
，則
，同樣有，
.所以的前項和
.
…………12分
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