貴陽六中2009屆高三月考(10月) 數 學2008.10.04下午
一.選擇題: (本大題共12小題,每小題5分,共60分).
1．若集合S = {a, b, c} (a, b, c∈R)中三個元素為邊可構成一個三角形，那么該三角形一定
不可能是A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形
2．若命題“p且q”與命題“p或q”都是假命題，則下列判斷正確的是
A．命題“非p”與q的真假相同 B．命題“非p”與“非q”真假不同
C．命題“非p且非q”是真命題 D．命題“非p”與“非q”中至少有一個是假命題
3．(理) 若函數
則
是函數
的
A．極限不存在的點 B．無定義的點 C．連續點 D．不連續點
(文) 曲線
在
處的切線的傾斜角是 A．
B．
C．
D．
4．(理) 設隨機變量
則P（
=2）等于 A．
B．
C．
D．
(文) 已知x∈
, sin x = 
, 則tan x 等于 A．-
B． C．-
D．
5．
的展開式中的常數項為 A．7 B．-
6．有一道數學難題，學生A解出的概率為
，學生B解出的概率為
，學生C解出的概
率為
，若A、B、C三學生獨立去解答此題，則恰有1人解出的概率為
A．
B．
C．
D．1
7．若過點
的直線
與曲線
有公共點，則直線的斜率的取值范圍為
A．
B．
C．
D．
8．雙曲線的漸近線方程是4y ± 3x = 0, 則該雙曲線的離心率是
A．
或
B． 
或 C． D．
9．已知直線
，直線
，給出下列命題:
① 
∥
；② 
∥m ③ ∥
④ 
∥
其中正確命題的序號是A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
10. 從6個教室中至少安排兩個教室供學生上自修課, 則可能安排的情況共有
A．15種 B．30種 C．56種 D．57種
11．定義在區間 [a , b] (b > a )上的函數 f (x) =sin x - 
cos x 的值域是 [-, 1]，則 b - a 的最大值 M 和最小值 m 分別是
A．m =, M = B．m = , M =
C．m = , M =
D．m = , M = 2p
12．(理) 在等比數列
中，首項
，且前
項和
滿足
，那么
的取值范圍是A．（1，2） B．（1，
） C．（1，4） D．（1，+∞）
(文) 從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統計如表，則這100人成績的標準差為
分數
5
4
3
2
1
人數
20
10
30
30
10
A．
B．
C．3 D．
二.填空題: (本大題共4小題,每小題5分,共20分.)
13．已知二次函數f ( x ) 滿足f (2 + x ) = f (2 - x )，且 f (2) = 1， f (0) = 3， 如果 f ( x ) 在區間 [0，m] 上最小值為1，最大值為3，則m的取值范圍是 。
14．拋物線y
的焦點到準線的距離為
15．如圖，正三角形P1P2P3，點A、B、C分別為
邊 P1P2，P2P3，P3P1的中點，沿AB、BC、CA折
起，使 P1、P2、P3 三點重合后為點 P，則折起后
二面角P ― AB ― C的余弦值為 .
16．給出如下命題：
（1）如果為奇函數，則其圖象必過（0，0）點；
（2）與
的圖象若相交，則交點必在直線
上；
（3）若對定義域R內任意實數
恒有
，則必為奇函數；（4）函數=
的極小值為2，極大值為－2。其中真命題的序號為
。
三.解答題: (本大題共6小題,,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（本小題滿分10分）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，
表示該三角形的面積，且
（Ⅰ）求角
的大小；（Ⅱ）若
，求b的值
18．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求證：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；
19． (本小題滿分12分)
（理）在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布
。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。
（Ⅰ）、試問此次參賽學生總數約為多少人？（Ⅱ）、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？
可共查閱的（部分）標準正態分布表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
1.3
1.4
1.9
2.0
2.1
0.8849
0.9032
0.9192
0.9713
0.9772
0.9821
0.8869
0.9049
0.9207
0.9719
0.9778
0.9826
0.888
0.9066
0.9222
0.9726
0.9783
0.9830
0.8907
0.9082
0.9236
0.9732
0.9788
0.9834
0.8925
0.9099
0.9251
0.9738
0.9793
0.9838
0.8944
0.9115
0.9265
0.9744
0.9798
0.9842
0.8962
0.9131
0.9278
0.9750
0.9803
0.9846
0.8980
0.9147
0.9292
0.9756
0.9808
0.9850
0.8997
0.9162
0.9306
0.9762
0.9812
0.9854
0.9015
0.9177
0.9319
0.9767
0.9817
0.9857
（文） 已知10件產品中有3件是次品.（I）任意取出3件產品作檢驗，求其中至少有1件是次品的概率；（II）為了保證使3件次品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取幾件產品作檢驗？
20．(本小題滿分12分) (理) 求函數
在[0，2]上的最大值和最小值.
(文) 若函數
在區間(1，4)內為減函數，在區間
(6，+∞)上為增函數，試求實數a的取值范圍.
21.
(本小題滿分12分) 已知｛an｝是正數組成的數列，a1=1，且點（
）（n
N*）在函數y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數列｛an｝的通項公式；(Ⅱ)若列數｛bn｝滿足b1=1,bn+1=bn+
，求證：bn ?bn+2＜b2n+1.
22．(本小題滿分12分)橢圓E的中心在原點O，焦點在
軸上，其離心率
, 過點C（－1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足點C分向量
的比為2。（1）用直線的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面積；（2）當△OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。
一.選擇題: (本大題共12小題,每小題5分,共60分.)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
A
A
B
D
A
D
D
C
B
二.填空題: (本大題共4小題,每小題4分,共16分.)
13．[ 2 , 4 ]
14．
15． 16．（3）(4)
三.解答題: (本大題共6小題,,共74分.)
17．（本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）由
可得：
又
. --------5分（Ⅱ）
，
. -----------10分
18．（本小題滿分12分）
解法一：（Ⅰ）取AB中點D，連結PD，CD. ∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.
∴AB⊥平面PCD.∵PC
平面PCD，∴PC⊥AB.
（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,
∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.
又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，
∴AB＝BP，∴BE⊥AP.
∵EC是BE在平面PAC內的射影，
∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=
，
∴sin∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小為aresin
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.
∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.
(Ⅱ)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz.
則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.
設P（0，0，t）,
∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(0,0,2).
取AP中點E，連結BE，CE.
∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,
∴CE⊥AP,BE⊥AP.
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.
∵E(0,1,1),
∴cos∠BEC=
∴二面角B-AP-C的大小為arccos
19．（本小題滿分12分）
（理）解：（Ⅰ）設參賽學生的分數為，因為～N(70，100)，由條件知，
P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－
＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.
這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28％，因此，
參賽總人數約為
≈526（人）。
（Ⅱ）假定設獎的分數線為x分，則
P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(x)＝1－
＝
＝0.0951，
即＝0.9049，查表得
≈1.31，解得x＝83.1.
故設獎得分數線約為83.1分。
（文）解：（1）任意取出3件產品作檢驗，全部是正品的概率為
…………3分至少有一件是次品的概率為
……………………6分
（2）設抽取n件產品作檢驗，則3件次品全部檢驗出的概率為
………8分
由
整理得：
，……………………10分
∴當n=9或n=10時上式成立.…………11分
答：任意取出3件產品作檢驗，其中至少有1件是次品的概率為
為了保證使3件次
品全部檢驗出的概率超過0.6，最少應抽取9件產品作檢驗.………………12分
20．（本小題滿分12分）
(理) 解：
………………2分
令 
化簡為
解得
………………5分
當
單調增加；
當
單調減少.
所以
為函數的極大值. ………………8分
又因為 
………………10分
所以 
為函數在[0，2]上的最小值，為函數
在[0，2]上的最大值. ………………12分
(文) 解：函數的導數 
.………………2分
令
，解得 x = 1 或x = a - 1 .………………5分
當a - 1≤1 即 a≤2 時, 函數 f ( x ) 在 ( 1 , + ¥ ) 上是增函數, 不合題意.
當a - 1 > 1 即 a >2 時, 函數 f ( x ) 在 ( - ¥, 1 ) 上是增函數, 在 ( 1 , a - 1 ) 內為減函數, 在( a - 1, + ¥ ) 內為增函數. .………………8分
依題意應有 當
.…………10分
所以 
解得
所以a的取值范圍是[5，7]. .………………12分
21．（本小題滿分12分）
解：解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以數列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數列.
故an=1+(n-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n從而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+???+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+???+2+1＝
=2n-1.
因為bn?bn+2-b
=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+
=-2n＜0,
所以bn?bn+2＜b,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因為b2=1,
bn?bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-
b
=2n+1?bn-1-2n?bn+1-2n?2n+1＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）
=…=2n（b1-2）=-2n〈0，
所以bn-bn+2<b2n+1
22．（本小題滿分14分）
解：（1）設橢圓E的方程為
( a＞b＞0 )，由e =
∴a2=3b2 故橢圓方程x2 + 3y2 = 3b2 ……………… 1分
設A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點C（－1，0）分向量
的比為2，
消去y整理并化簡得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0
⑤
，代入⑤得：S△OAB = 
---------- 6分
,
S△OAB取得最大值…………8分
=－1 ∴x1=1,x2 =－2