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1．若集合P = { y?y = lg x，x＞1 }，Q = {－2，－1，1，2 }，則 (_RP )∩Q等于

A．{－2，－1，1，2 }               B．（－∞，0）

C．（0，+∞）                       D．{－2，－1 }

2．設a = log₃2，b = log₂3，，則

A．a＜b＜c       B．a＜c＜b     C．b＜a＜c       D．b＜c＜a

3．化簡：

A．i             B．－i          C．1             D．－1

4．若向量a =（1, m）和b =（2m + 3, －m）共線，其中m∈R，則?a－b?=

A．2或0        B．2         C．2或2      D．4或20

5．下列四個函數中，圖象如右圖所示的只能是

A．y = x + lg x（x＞0）     B．y = x－lg x（x＞0）

C．y =－x + lgx（x＞0）    D．y =－x－lg x（x＞0）

6．若實數x、y滿足約束條件

則2x + 3y的最大值為

A．2          B．6         C．8          D．9

7．計算：=

A．1          B．－1       C．2          D．－2

8．已知直線a、b、c和平面a，則a∥b的一個必要不充分條件是

A．a⊥c且b⊥c              B．a∥c且b∥c

C．a∥a 且b∥a             D．a、b與a 所成角相等

9．從8名學生（其中男生6人，女生2人）中按性別用分層抽樣的方法抽取4人參加接力比賽，若女生不排在最后一棒，則不同的安排方法種數為

A．1440      B．960     C．720           D．360

10．△ABC中，角A滿足sin⁴A－cos⁴A≤cosA－sinA，則

A．0＜A≤                B．0＜A≤

C．≤A≤              D．≤A＜

11．若橢圓（a＞b＞0）的離心率，右焦點為F（c，0），方程ax² + 2bx + c = 0的兩個實數根分別是x₁和x₂，則點P（x₁，x₂）到原點的距離為

A．     B．        C．2          D．

12．已知函數  給出函數f（x）的下列五個結論：

① 最小值為； ② 一個單增區間是（，）；③ 其圖象關于直線（k∈Z）對稱； ④ 最小正周期為2p； ⑤ 將其圖象向左平移后所得的函數是奇函數． 其中正確結論的個數是

A．1          B．2           C．3          D．4

綿陽市高中2009屆第三次診斷性考試

數  學（理科）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事項：

1．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷中．

2．答卷前將密封線內的項目填寫清楚．

題號

二

三

總分

總分人

總 分

復查人

17

18

19

20

21

22

分數

得分

評卷人

13．等比數列 { a_n } 中，若a₁，a₇，a₄ 成等差數列，則數列{ a_n }的公比為              ．

14． 的展開式中常數項等于              ．

15．已知不平行于x軸的直線y = kx + b（b＞0）與拋物線x² = 2py（p＞0）交于A、B兩點，點A、B到y軸的距離的差等于2k，則拋物線的焦點坐標為              ．

16．設A、B、C是球面上三點，線段AB = 2，若球心到平面ABC的距離的最大值為，則球

的表面積等于              ．

得分

評卷人

17．（本題滿分12分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c．

（1）若sin C + sin（B－A）= sin 2A，試判斷△ABC的形狀；

（2）若△ABC的面積S = 3，且c =，C =，求a，b的值．

得分

評卷人

18．（本題滿分12分）

春暖大地，萬物復蘇．目前已進入綠化造林的黃金季節，到處都能看到綠化工人（綠化員）和參加義務植樹的百姓植樹種草、綠化環境的身影．某8人（5男3女）綠化組，為了提

高工作效率，開展小組間的比賽，現分成A、B兩個小組，每個小組4人．

（1）求A、B兩組中有一組恰有一名女綠化員的概率；

（2）求A組中女綠化員人數 x 的數學期望．

得分

評卷人

19．（本題滿分12分）

四棱錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD．ABCD是矩形，BC = 2 CD = 2．又 PA = PD，∠APD = 90°，E、G分別是BC、PE的中點．

（1）求證：AD⊥PE；

（2）求二面角E－AD－G的大小；

（3）求點D到平面AEG的距離．

得分

評卷人

20．（本題滿分12分）

已知函數，m∈R．

（1）若f（x）在（0，1 內是減函數，求m的取值范圍；

（2）是否存在實數m，使x在函數的定義域內取任意值時，f (x)≤－3恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

得分

評卷人

21．（本題滿分12分）

已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F（2，0）是它的一個焦點．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交雙曲線于A、B兩點，l₂交雙曲線于C、D兩點，求的值．

得分

評卷人

22．（本題滿分14分）

（Ⅰ）當x＞0時，比較 ln（1 + x）與 x 的大小．

（Ⅱ）已知數列 { a_n } 中，a₁ = 1，對任意n∈N^*，．

（1）當n≥2時，求證：；

（2）試利用（Ⅰ）中的結論證明：a_n＜e²，其中e是自然對數的底數．

綿陽市高中2009級第三次診斷性考試

數學（理科）參考解答及評分標準

DABC            BDAD            CBAC

13．q = 1或      14．－     15．（0，）   16．16p

17．（1）由題意得 sin（B + A）+ sin（B－A）= sin 2A，

sin B cos A = sin A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，

∴  cosA = 0 或 sin B = sinA A．                            …………… 4分

因A，B為三角形中的角，于是或B = A．

所以△ABC為直角三角形或等腰三角形．                       …………… 6分

（2）因為△ABC的面積等于 3，所以 ，得 ab = 12．

由余弦定理及已知條件，得 a² + b²－ab = 13．

聯立方程組 解得或       …………… 12分

18．（1）設“A、B兩組中有一組恰有一名女綠化員”為事件A₁，

則 ．                                          …………… 4分

（2）x 可取0，1，2，3．                                       …………… 6分

，，

，，                …………… 10分

所以 ．                     …………… 12分

19．（1）如圖，取AD的中點O，連結OP，OE，于是OP⊥AD．

∵ 側面PAD⊥底面ABCD， ∴ OP⊥面ABCD．

∵ E是矩形ABCD的邊BC的中點，

∴ OE∥AB，∴ OE⊥AD，從而 AD⊥PE．……… 4分

（2）取OE的中點F，連結FG，OG，則 FG∥OP，

∴ FG⊥面ABCD，AD⊥OG，

∴ ∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角．

∵ FG =OP =，OF =CD =，

∴ ∠GOE = 45°，即二面角E－AD－G的大小為45°．  …………… 8分

（3）由（1）知，O是AD的中點，所以點D到面AEG的距離等于點O到面AEG的距離h的2倍．

∵ V_P－AOE =S_△AOE×OP =×AO ?OE ? OP =．

又 AE = AP = PE =，∴ V_O－AEP =S_△AEP ? h =×? h =h,

從而由 V_P－AOE = V_O－AEP 得 h =，故點D到面AEG的距離等于．

…………… 12分

另解（2）  以O為原點，OE、OD、OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，－1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），G（，0，），∴ ，1，），，1，）．

設平面ADG的一個法向量為n₁ =（x₁，y₁，z₁），

則  且 ，于是y₁ = 0，令 x₁ = 1，得 n₁ =（1，0，－1）．顯然平面ADE的一個法向量可以為n₂ =（0，0，1）．

∵ cos<n₁，n₂>==，∴ <n₁，n₂> = 135°．

由題圖可知二面角E－AD－G的大小為45°．

20．（1）函數 f（x）的定義域為（0，+∞）．

∵ ，

∴ 當 f（x）在（0，1 內是減函數，有f ′（x）≤0，

即 ≤0，得m≥，由于此式對任意的x∈（0，1 成立，所以m≥0．                                                                …………… 6分

（2）當m＞0時，若x→0，則f（x）→+∞，說明f（x）≤－3不恒成立，故m不能為正數．                                                             …………… 7分

當m = 0時，f（x）=－，在x∈（0，+∞），也不能使f（x）≤－3恒成立，故m≠0．                                                                …………… 8分

當m＜0時，因x∈（0，+∞），所以f（x）＜0．

假設f（x）≤－3恒成立，即≤－3，而 x＞0，則 m≤．

設 g（x）=，x＞0，有g′（x）== 0，得 x = 4．

∵ 當x∈（0，4）時，g′（x）＜0；當x∈（4，+∞）時，g′（x）＞0，

∴ g（x）在x = 4時取得最小值g（4）=－4，從而 m≤－4．…… 12分

21．（1）∵ 雙曲線的漸近線方程為，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．

所以雙曲線的方程為．                              …………… 3分

（2）① 當直線l₁、l₂其中一條與x軸垂直，不妨設l₁⊥x軸時，

則，，，．

∴ ，，

∴ ．                                             …………… 5分

② 當直線l₁、l₂都不與x軸垂直時，

設l₁：y = k（x－2），k≠0，則 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁與雙曲線有兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．         ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

綜合①②，得．                                   …………… 12分

22．（Ⅰ）設f（x）= ln（1 + x）－x，x＞－1．

則當時，有x = 0．

∴ 當 f ′（x）＞0時，得－1＜x＜0，表明函數f（x）的增區間是（－1，0）；當 f ′（x）＜0時，得x＞0，表明f（x）的減區間是（0，+∞），即函數f（x）= ln（1 + x）－x 在（0，+∞）上是減函數，∴ f（x）＜ f（0），即 ln（1 + x）－x＜0，得 ln（1 + x）＜x（x＞0）．              …………… 4分

（Ⅱ）（1）要證，因為，則問題等價于只需證a_n＞2（n≥2）．

① 當n = 2時，有 a₂ =，a_n＞2成立．   ………… 6分

② 假設當n = k（k≥2）時，結論成立，即a_k＞2，則當n = k + 1時有

，結合歸納假設a_k＞2，

得＞2，所以a_k+1＞2．

由①②可知：當n≥2時，有a_n＞2成立，也即．

…………… 9分

（2）a₁ = 1＜e²顯然成立．

∵ ，∴ ，

所以 ，n≥2．

又  ．

當n≥2時，有，

，

…………

，

將上述n－1個不等式相加，得

．

因為 ,

，

所以 ，即 ln a_n＜2，所以a_n＜e²．

…………… 14分

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