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第十三單元  直線與圓錐曲線的位置關系

一.選擇題

(1) 橢圓上的點到直線的最大距離是                           (       )

    A 3                               B                        C                   D

(2) 過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線                                         (       )

A  有且僅有一條    B 有且僅有兩條        C有無窮多條       D不存在

(3) 設雙曲線 (0<a<b)的半焦距c, 直線l過(a, 0), (0, b)兩點. 已知原點到直線l的距離為c, 則雙曲線的離心率為                                                                                (       )

A  2                              B                          C                     D 

(4) 如果橢圓的弦被點(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是          (       )

A              B      

C    D

 (5)過雙曲線2x²-y²-8x+6=0的由焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點, 若|AB|=4, 則這樣

的直線有                                                                (       )

A 4條                           B 3條                         C 2條                       D 1條

(6) 已知定點A、B且|AB|=4，動點P滿足|PA|－|PB|=3，則|PA|的最小值是  (       )

A                          B               C                         D 5

(7) 直線l 交橢圓4x²+5y²=80于M、N兩點, 橢圓的上頂點為B點, 若△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點上, 則直線l的方程是                                                                           (       )

A  5x+6y-28=0              B  5x+6y-28=0      

C  6x+5y-28=0             D  6x-5y -28=0  

(8) 過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于                                                                                          (       )

A2a                                B                           C                    D

(9) 已知雙曲線的焦點為F₁、F₂，點M在雙曲線上且MF₁⊥x軸，則F₁到直線F₂M的距離為                                                                              (       )

A                    B                C                         D

(10) 點P（-3，1）在橢圓的左準線上，過點P且方向為的光線，經直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為                                                       (       )

A                       B                                  C                        D

二.填空題

(11) 橢圓的兩焦點為F₁，F₂，一直線過F₁交橢圓于P、Q，則△PQF₂的周長為 ___________.

(12) 若直線l過拋物線(a>0)的焦點，并且與y軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4，則a=_______

(13) 過點且被點M平分的雙曲線的弦所在直線方程為               .

(14) 已知F₁、F₂是橢圓+y²=1的兩個焦點, P是該橢圓上的一個動點, 則|PF₁|?|PF₂|的最大值是             .

三.解答題

(15) 如圖，O為坐標原點，過點P（2，0）且斜率為k的直線l交拋物線y²=2x于M（x₁,y₁）,N(x₂, y₂)兩點．

（1）寫出直線的方程；

（2）求x₁x₂與y₁y₂的值；

（3）求證：OM⊥ON．

(16) 已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F₁、F₂，離心率為e. 直線

l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F₁關于直線l的對稱點，設＝λ.

（Ⅰ）證明：λ＝1－e²；

（Ⅱ）若，△PF₁F₂的周長為6；寫出橢圓C的方程.

(17) 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），右頂點為

   （1）求雙曲線C的方程；

   （2）若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點）. 求k的取值范圍.

(18) 如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸的長為4，左準線與x軸的交點為M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

   (Ⅰ)求橢圓的方程；

   (Ⅱ)若點P為l上的動點，求∠F₁PF₂最大值

一選擇題:

1.D  

[解析]：設橢圓上的點P（4cosθ，2sinθ）

則點P到直線的距離

d=

2.B 

[解析]：過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，

若直線AB的斜率不存在，則橫坐標之和等于2，不適合。

故設直線AB的斜率為k，則直線AB為

代入拋物線得，

∵A、B兩點的橫坐標之和等于5，∴，

則這樣的直線有且僅有兩條

3.A  

[解析]：直線l過(a, 0), (0, b)兩點. 即為：，故原點到直線l的距離=c， 

                ∴e =  或2，

又0<a<b，故

                 ∴e = 2

4.D 

[解析]：用‘點差法’： 這條弦的兩端點位A(x₁,y₁),B（x₂,y₂）,斜率為k,則

          兩式相減再變形得

又弦中點為(4，2)，故k=

故這條弦所在的直線方程y－2=(x-4)

5.B 

[解析]：過雙曲線2x²－y²－2=0的由焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點,

若則AB為通徑，而通徑長度正好是4，故直線l交雙曲線于同支上的A、B兩點且|AB|=4，這樣的直線只有一條，

若l經過頂點，此時|AB|=2, 故直線l交雙曲線于異支上的A、B兩點且|AB|=4，這樣的直線有且只有兩條，

故選B。

6.C 

[解析]：已知定點A、B且|AB|=4，動點P滿足|PA|－|PB|=3，則點P的軌跡是以A、B為左右焦點的雙曲線的右支，

故|PA|的最小值是A到右頂點的距離，為2+

7.D 

[解析]：設M（x₁,y₁）、N(x₂,y₂), 而B（0，4）, 又△BMN的重心恰好落在橢圓的右焦點（2，0）上, 故x₁+ x₂=6，y₁+ y₂=－4，又A、B在橢圓上，故得

則直線l的方程是

8.C 

[解析]：過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，

設P（x₁,y₁）、Q(x₂,y₂),則p=

設直線PQ為，聯立直線方程與拋物線方程可得

=，

==4

9.C 

[解析]：已知雙曲線的焦點為F₁、F₂，點M在雙曲線上且MF₁⊥x軸，M(3,則MF₁=,故MF₂=，故F₁到直線F₂M的距離為

10.A

[解析]：  點P（-3，1）在橢圓的左準線上， 故

                  點P（-3，1）關于直線的對稱的點為Q，則Q（-3，-5），設橢圓的左焦點為F，則直線FQ為，故

                   ∴1，

二填空題:

11. 20  

[解析]：△PQF₂的周長=4      

12. 

[解析]：l被拋物線截得的線段長 即為通徑長  ，故 =4，   

13.

[解析]：   參考選擇題（4），由‘點差法’ 可得斜率為    

14. 4  .

[解析]：由焦半徑公式|PF₁|=，|PF₂|=

|PF₁|?|PF₂|=（）（）=

則|PF₁|?|PF₂|的最大值是=4.

三解答題

(15)解

（Ⅰ）解：直線l的方程為

                      ①

（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y可得

   ②

點M，N的橫坐標x₁與 x₂是②的兩個根，

由韋達定理得

（Ⅲ）證明：設OM，ON的斜率分別為k₁, k₂,

 (16) （Ⅰ）證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，

所以A、B的坐標分別是.

    所以點M的坐標是（）.    由

即

證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設M的坐標是

所以      因為點M在橢圓上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）當時，，所以   由△MF₁F_­2­­的周長為6，得

         所以  橢圓方程為

(17) 解：（Ⅰ）設雙曲線方程為 

由已知得

故雙曲線C的方程為

（Ⅱ）將

由直線l與雙曲線交于不同的兩點得

即  ①  設，則

而

于是

    ②

由①、②得  

故k的取值范圍為

(18)解 (Ⅰ)設橢圓方程為，半焦距為，則

(Ⅱ)

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