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高考數學專題―數學思想方法3

換元法及待定系數法

解數學問題時，通過一個或幾個新變量代替原來的變量，使得代換后的問題中僅含這些新變量的方法稱之為換元法。用這種方法解題的目的是變量研究，其實質是移問題至新對象的知識背景中去研究，達到化難為易，化繁為簡的目的。

待定系數法的實質是方程的思想，把待定的未知數與已知數等同看待列式即得方程。

第一講  換元法

例1、已知，求的最值。

分析：請看下面解法：

∵ ，

∴ 

得 的最大值為21，無最小值。

思考：上面解法是否正確？

正確解法：

解：由題意得：

故可設 ，

∵

∴當時，有最大值 ；

  當時，有最小值 ；

例2、已知，求的最值；

 解：可化為：

         即 

         設

         ∴

∵

∴當 時，有最大值25；

當 時，在最小值 ；

例3、已知，，，求的值。

[分析] 此題條件中，的含義是，

，顯然，按此遞推公式求出，計算量較大，仔細觀察條件中，的形式與正切的倍角公式相近。由此可得解法。

解：設 ，

∵

∴

┄┄┄┄┄

例4、在曲線：上求一點，使它到直線的距離取最小值。

解： ∵

設  ， 

則 

又設

則點在曲線上，到直線的距離為

∵ ，∴

∴  ，

∴ 當時，有最小值2 ；

由及，得

∴ 當點坐標為 時， 到直線的距離最小，最小值為2 ；

例5、已知集合，，

求集合；

解：令，

  則可設，，

  ∴

，

關于的二次方程有實根的充要條件是

又∵

∴

∵

∴

解得；， ， ，

∴ 原方程為

∴

∴ 所求集合

練    習

1、已知，那么的值域是                     ；

2、設實數滿足，則的取值范圍是                          ；

3、設，求函數的最小值；

4、設，求證：，；

5、已知，且，求的最大值與最小值；

第二講 待定系數法

例1、已知方程有一個根是解這個方程；

[分析] 根據實系數方程虛根成對原理，必有另一個根是，故方程等價于

 ，其中待定，求出后就可求同另二個根。

解： 設

   令得,   令得；

   ∴,解得：，

   ∴原方程的根為。

例2、已知一個共100項的等比數列的前項的和，

     若，求所有適合等式的值的和；

[分析] 中含有兩個字母，直覺告訴我們，去確定之值，是解題中重要的環節。

解： ∵ 

又 是等比數列，

∴ ，又由知，

∴  ， ，

又 ， 

由得：

∴ ，

∴

∴ ，

∴

例3、曲線：的圖象與曲線：的圖象關于點對稱，求的值；

解：設是上任意一點，是關于對稱的上的點，

則有

 ，

∴ ，

即          ①

①與應為同一方程，

即

比較系數得。

例4、設為常數，，，且方程有等根，

求之值；

若，求使成立的值；

解：由得 , 即 ，

又  ，故  ，

因此  或

方程有等根   ，故 ；

 ∵  ，

又  ，

∴且 ，

因此，將與代入得。

練 習

1、已知無窮等比數列前項和為，則所有項和等于  

A、        B、    1       C、          D、  任意實數

2、滿足< 500的的最大正整數是

A、  4         B、    5       C、   6        D、  7

3、在直角坐標系內有兩點、，點在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則的值為

A、        B、          C、    1       D、   不能確定

4、如果恒等式成立，則           ；        ；

5、若方程的圖象是兩條直線，則                 ；

6、函數的最大值為，最小值為，則的周期是                                       ；

7、已知函數的最大值為7，最小值為，求此函數的解析式；

8、已知拋物線，對任意實數均過定點，  求實數之值；  求拋物線焦點到準線距離的最大值；