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面積問題和面積方法

基礎知識

1．面積公式

由于平面上的凸多邊形都可以分割成若干三角形，故在面積公式中最基本的是三角形的面積公式．它形式多樣，應在不同場合下選擇最佳形式使用．

設△，分別為角的對邊，為的高，、分別為△外接圓、內切圓的半徑，．則△的面積有如下公式：

（1）；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

2．面積定理

（1）一個圖形的面積等于它的各部分面積這和；

（2）兩個全等形的面積相等；

（3）等底等高的三角形、平行四邊形、梯形（梯形等底應理解為兩底和相等）的面積相等；

（4）等底（或等高）的三角形、平行四邊形、梯形的面積的比等于其所對應的高（或底）的比；

（5）兩個相似三角形的面積的比等于相似比的平方；

（6）共邊比例定理：若△和△的公共邊所在直線與直線交于，則；

（7）共角比例定理：在△和△中，若或，則．

3．張角定理：如圖，由點出發的三條射線，設，，，則三點共線的充要條件是：

．

例題分析

例1．梯形的對角線相交于，且，，求

例2．在凸五邊形中，設，求此五邊形的面積．

例3．是△內一點，連結并延長與分別交于，△、△、△的面積分別為40，30，35，求△的面積．

例4．分別是△的邊和上的點，且，求△的面積的最大值．

例5．過△內一點引三邊的平行線∥，∥，∥，點都在△的邊上，表示六邊形的面積，表示

△的面積．求證：．

例6．在直角△中，是斜邊上的高，過△的內心與△的內心的直線分別交邊和于和，△和△的面積分別記為和．求證：．

例7．銳角三角形中，角等分線與三角形的外接圓交于一點，點、與此類似，直線與、兩角的外角平分線將于一點，點、與此類似．求證：

（1）三角形的面積是六邊形的面積的二倍；

（2）三角形的面積至少是三角形的四倍．

例8．在△中，將其周長三等分，且在邊上，求證：．

例9．在銳角△的邊邊上有兩點、，滿足，作，（是垂足），延長交△的外接圓于點，證明四邊形與△的面積相等．

三．面積的等積變換

等積變換是處理有關面積問題的重要方法之一，它的特點是利用間面積相等而進行相互轉換證（解）題．

例10．凸六邊形內接于⊙，且，，求此六邊形的面積．

例11．已知的三邊，現在上取，在延長線上截取，在上截取，求證：．

例12．在內，且∽，求征：

例13．在的三邊上分別取點，使，，連相交得三角形，已知三角形的面積為13，求三角形的面積．

例14．為圓內接四邊形的邊的中點，于，于，于，求證：平分．

例15．已知邊長為的，過其內心任作一直線分別交于點，求證：．

例16．正△正△，，，，，

，．求證：．

例17．在正內任取一點，設點關于三邊的對稱點分別為，則相交于一點．

例18．已知是正六邊形的兩條對角線，點分別內分，且使，如果三點共線，試求的值．

例19．設在凸四邊形中，直線以為直徑的圓相切，求證：當且僅當∥時，直線與以為直徑的圓相切．

訓練題

1．設的面積為10，分別是邊上的點，且若，求的面積．

2．過內一點作三條平行于三邊的直線，這三條直線將分成六部份，其中，三部份為三角形，其面積為，求三角形的面積．

3．在的三邊上分別取不與端點重合的三點，求證：，中至少有一個的面積不大于的面積的．

4．銳角的頂角的平分線交邊于，又交三角形的外接圓于，過作和邊的垂線和,垂足是，求證：四邊形的面積等于的 面積．

5．在等腰直角三角形的斜邊上取一點，使，作交于，求證：．

6．三條直線互相平行，在的兩側，且間的距離為，間的距離為1，若正的三個頂點分別在上，求正的邊長．

7．已知及其內任一點，直線分別交對邊于（），證明：在這三個值中，至少有一個不大于2，并且至少有一個不小于2．

8．點和分別在的邊和上，點和將線段分為三等分，直線和分別與邊相交于點和，證明：．

9．已知P是內一點，延長分別交對邊于，其中，，且，求之值．

10．過點P作四條射線與直線分別交于和，求證：

．

11．四邊形的兩對對邊的延長線分別交，過作直線與對角線的延長線分別，求證：．

12．為的重心，過作直線交于，求證：．