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數學歸納法

基礎知識

數學歸納法是用于證明與正整數有關的數學命題的正確性的一種嚴格的推理方法．在數學競賽中占有很重要的地位．

1．數學歸納法的基本形式

（1）第一數學歸納法

設是一個與正整數有關的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設成立，由此推得時，也成立，那么，根據①②對一切正整數時，成立．

（2）第二數學歸納法

設是一個與正整數有關的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設成立，由此推得時，也成立，那么，根據①②對一切正整數時，成立．

2．數學歸納法的其他形式

（1）跳躍數學歸納法

①當時，成立，

②假設時成立，由此推得時，也成立，那么，根據①②對一切正整數時，成立．

（2）反向數學歸納法

設是一個與正整數有關的命題，如果

①對無限多個正整數成立；

②假設時，命題成立，則當時命題也成立，那么根據①②對一切正整數時，成立．

3．應用數學歸納法的技巧

（1）起點前移：有些命題對一切大于等于1的正整數正整數都成立，但命題本身對也成立，而且驗證起來比驗證時容易，因此用驗證成立代替驗證，同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以．因而為了便于起步，有意前移起點．

（2）起點增多：有些命題在由向跨進時，需要經其他特殊情形作為基礎，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點．

（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當可以改變跨度，但注意起點也應相應增多．

（4）選擇合適的假設方式：歸納假設為一定要拘泥于“假設時命題成立”不可，需要根據題意采取第一、第二、跳躍、反向數學歸納法中的某一形式，靈活選擇使用．

（5）變換命題：有些命題在用數學歸納證明時，需要引進一個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明．

5．歸納、猜想和證明

在數學中經常通過特例或根據一部分對象得出的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經常采用數學歸納法證明．不完全歸納法是發現規律、解決問題極好的方法．

例題分析

例1．用數學歸納法證明：

（）

例2．已知對任意，，且，求證：．

例3．如果正整數不是6的倍數，則不是7的倍數．

例4．設都是正數，證明．

例5．已知函數的定義域為，對于區間內的任意兩數均有．求證：對于任意，均有

．

例6試證：對一切大于等于1的自然數都有

．

例7試證：對一切自然數（）都有．

例8．證明：任一正方形可以剖分成任意個數多于5個的正方形．

例9．設，，，求證：對一切均有

例10．已知，，求證：對一切，都是整數．

例11．設，是否存在關于正整數的函數使等式對于的一切自然數都成立？并證明你的結論．

例12．設整數數列滿足，，，且．證明：任意正整數，是一個整數的平方．

例13．設為正數（），證明：．

例14．已知，（），求證：．

例15．整數列（）滿足，且有．求證：時，是奇數．

訓練題

1．證明時，能被31整除．

2．設不小于6的自然數，證明：可以將一個正三角形分成個較小的正三角形．

3．用數學歸納法證明：

4．設為自然數，求證：．

5．對于自然數（），求證：．

6．已知，，求證：對于一切，是整數．

7．設有個球分成了許多堆，我們可以任意選甲、乙兩堆來按照以下規則挪動：若甲戴盆望天的球數不小于乙堆的球數，則從甲堆拿個球放堆乙堆，這樣算是挪動一次．證明：可以經過有限次挪動把所有的球合并成一堆．

8．已知數列滿足：，，（），試證：．