天津市南開區2008高三年級質量調查（一）
數學（理科）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分。
第I卷
一. 選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 已知i是虛數單位，則
（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. 設變量
滿足約束條件
，則目標函數
的最大值為（ ）
A. 11 B.
3. 在△ABC中，“
”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
4. 設橢圓
上的點到焦點距離的最大值為3，離心率為
，則此橢圓的標準方程為（ ）
A. 
B.
C. 
D.
5. 函數
的反函數是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
6. 若
是互不相同的空間直線，
是不重合的平面，則下列命題中是真命題的是（ ）
A. 若
，
，
，則
B. 若
，，則
C. 若
，則
D. 若
，則
7. 若
是定義在R上的偶函數，在
上是減函數，且
，則使得
的x的取值范圍是（ ）
A. 
B.
C.
D.
8. 設
是公比大于1的等比數列，
構成等差數列，且前三項的和
，那么公比q的值等于（ ）
A. 
B.
2 C.
D.
3
9. 已知函數
，則
的值為（ ）
A. 
B.
C.
D.
10. 已知
是定義在R上的單調函數，實數
，
，
，若
，則（ ）
A. 
B.
C.
D.
第II卷
二. 填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分。請把答案填在題中橫線上。
11. 在
的二項展開式中常數項的值等于 （用數字作答）。
12. 過球面上A、B、C三點的截面與球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，那么球的表面積等于 。
13. 數列中，
，
，則
等于 。
14. 兩圓交于點A（1，3）和B（m，1），兩圓的圓心都在直線
上，則m+c的值等于
。
15. 設
是平面直角坐標系內x軸，y軸正方向上的單位向量，且
，
，則△ABC面積的值等于
。
16. 如圖，在一個田字形區域A、B、C、D中栽種觀賞植物，要求同一區域中種同一種植物，相鄰區域中種不同植物（A與D、B與C不為相鄰）。現有4種不同植物可供選擇，則不同的種植方案有 種。（用數字作答）
三. 解答題：本大題共6個小題，共76分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17. （本小題滿分12分）
已知函數
。
（1）求
的值；
（2）求的最小正周期和在區間
上的最大值和最小值。
18. （本小題滿分12分）
某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為
，且各次射擊的結果互不影響。
（1）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續擊中目標的概率（用數字作答）；
（2）求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率（用數字作答）；
（3）設隨機變量
表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數，求的分布列。
19. （本小題滿分12分）
已知如圖，在四棱錐P―ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD：DC：BC=
。
（1）證明BC⊥平面PDC；
（2）求二面角D―PB―C的正切值；
（3）若
，求證：平面PAB⊥平面PBC。
20. （本小題滿分12分）
已知函數
。
（1）若函數的導函數是奇函數，求
的值；
（2）求函數的單調區間。
21. （本小題滿分14分）
如圖，
是拋物線
上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且|MA|=|MB|。
（1）若M為定點，證明：直線EF的斜率為定值；
（2）若M為動點，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程。
22. （本小題滿分14分）
設函數滿足
，數列和
滿足下列條件：
，
，
。
（1）求的解析式；
（2）求的通項公式
；
（3）試比較
與的大小，并證明你的結論。
一. 選擇題：本題考查基礎知識和基本運算。
1. B 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. D 8. B
9. D 10. A
二. 填空題：本題考查基礎知識和基本運算。
11. 7 12.
13
14. 3
15. 5 16. 84
三. 解答題：
17. 本小題考查三角函數中的誘導公式、特殊角三角函數值、兩角和公式、二倍角公式、函數
的性質等基礎知識，考查基本運算能力。
（1）解：
，
∴ 
（5分）
（2）解：
最小正周期為
∵ 
∴
∴
（12分）
18. 本小題要考查互斥事件、相互獨立事件、離散型隨機變量的分布列等基礎知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力。
（1）解：設“射手射擊1次，擊中目標”為事件A
則在3次射擊中至少有兩次連續擊中目標的概率
=
（5分）
（2）解：射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率
（10分）
（3）由題設，“
”的概率為
且
所以的分布列為：
3
4
…
k
…
P
…
…
（12分）
19. 本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力。
（1）解：由PD⊥平面ABCD，
平面ABCD，得PD⊥BC
由AD⊥DC，AD//BC，得BC⊥DC
又
，則BC⊥平面PDC（3分）
（2）解：取PC中點E，連DE，則DE⊥PC
由BC⊥平面PDC，平面PBC
得平面PDC⊥平面PBC ∴ DE⊥平面PBC
作EF⊥PB于F，連DF
由三垂線定理，得DF⊥PB
則∠DFE為二面角D―PB―C的平面角
在
中，求得
在
中，求得
在
中，
即二面角D―PB―C的正切值為
（8分）
（3）證：取PB中點G，連AG和EG
由三角形中位線定理得GE//BC，
由已知，AD//BC，
∴ AD=GE，AD//GE
則四邊形AGED為平行四邊形
∴ AG//DE
由（2）已證出DE⊥平面PBC
∴ AG⊥平面PBC
又
平面PAB ∴
平面PAB⊥平面PBC（12分）
20. （本小題考查導數的意義，兩個函數的和、差、積、商的導數，考查利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。
（1）解：由已知得
∵ 函數的導函數是奇函數
∴ 
解得
（5分）
（2）由
① 當
時，
恒成立
∴ 當時，函數在R上單調遞減
② 當
時，解
得
即
∴ 當時，在
內單調遞增，在
內單調遞減（12分）
21. 本小題主要考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線方程、求曲線的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力。
（1）解：設
，直線ME的斜率為
，則直線MF的斜率為
，直線ME的方程為
)
由
得
解得
所以
∴
同理可得
∴ 
∴ 
（定值）（8分）
（2）解：當∠EMF=90°，∠MAB=45°，所以k=1
由（1）得
設重心
則有
消去參數
得
（14分）
22. 本小題以數列的遞推關系為載體，主要考查等比數列的通項公式，不等式的證明等基礎知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數字知識分析問題和解決問題的能力。
（1）解：由已知
∴ 
聯立解得
（4分）
（2）解：由（1）知
∴
兩式相減
即
∴
∴ 
∴
數列
是公比為2的等比數列
又∵ ∴
∴
∴
∴ 
∴
（10分）
（3）解：由（2）
，而已知
聯立解得
∴ 
∴ 
時，
∴
；
時，
∴
；
時，
∴
；
時，
∴
；
猜想
時，
即
時，顯然成立
假設當
時，命題正確，即
當
時，
即
不等式也成立，故對一切且，
綜合：當時，
；當時，
；當時，（14分）
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