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探究操作性問題

【典型例題】

，，

．

，即為的中點．

（2）①由（1）可知，，

，，

．

，

又，四邊形為平行四邊形．

②設(shè)，軸，則，則．

過作軸，垂足為，在中，

．

平行四邊形為菱形．

（3）設(shè)直線為，由，得，代入得：

直線為．

設(shè)直線與拋物線的公共點為，代入直線關(guān)系式得：

，，解得．得公共點為．

所以直線與拋物線只有一個公共點．

【例2】（福建南平）

（1）①證法一：與均為等邊三角形，

，

且

，

即

．

②，，．

（2）①

②證法一：依題意，知和都是正邊形的內(nèi)角，，，

，即．

．

，，?????? 13分

，

【例3】（內(nèi)江市）

觀察計算

（1）；

（2）．

探索歸納

（1）①；②；

（2）．

①當，即時，，．；

②當，即時，，．；

③當，即時，，．．

綜上可知：當時，選方案二；

當時，選方案一或方案二；

當（缺不扣分）時，選方案一．

【例4】（浙江寧波）

（1）．（2）相等，比值為．

（3）設(shè)，

在矩形中，，

，，，

，

．

同理．

，，．

，，解得．即．

（4），．

【學力訓練】

1、（山東聊城）（1）設(shè)正方形的邊長為cm，則

．

即．

解得（不合題意，舍去），．

剪去的正方形的邊長為1cm．

（注：通過觀察、驗證直接寫出正確結(jié)果給3分）

（2）有側(cè)面積最大的情況．

設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm²，

則與的函數(shù)關(guān)系式為：

．

即．

改寫為．

當時，．

即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側(cè)面積

最大為40.5cm²．

（3）有側(cè)面積最大的情況．

設(shè)正方形的邊長為cm，盒子的側(cè)面積為cm²．

若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：

．

即．

當時，．

若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關(guān)系式為：

．

即．

當時，．

比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側(cè)面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側(cè)面積最大，最大面積為cm²．

2、（山東棗莊）

（1）如圖所示，，，

∴．　　又，

∴．

（2），∴∠D₁FO=60°．

，∴．

　又，，∴．

，∴．

又，∴．

在中，．

（3）點在內(nèi)部．

理由如下：設(shè)（或延長線）交于點P，則．

在中，，

，即，∴點在內(nèi)部．

3、（江蘇鹽城）（1）①CF與BD位置關(guān)系是垂直、數(shù)量關(guān)系是相等；

②當點D在BC的延長線上時①的結(jié)論仍成立．

由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．

∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，

又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　

∠ACF=∠ABD．

∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD

（2）畫圖正確　　　　　　　

當∠BCA=45º時，CF⊥BD（如圖丁）．

理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，∴AC=AG

可證：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º

∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即CF⊥BD

（3）當具備∠BCA=45º時，

過點A作AQ⊥BC交BC的延長線于點Q，（如圖戊）

∵DE與CF交于點P時， ∴此時點D位于線段CQ上，

∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．設(shè)CD=x ，∴ DQ=4―x，

容易說明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，

．

∵0＜x≤3 ∴當x=2時，CP有最大值1

4、（07麗水市）（1）∵，

設(shè)正方形的邊長為，

∴，或（舍去）．

（2）．

．

（3）①當0≤＜4時，重疊部分為三角形，如圖①．

可得△∽△，

∴，=．

∴．

②當4≤＜6時，重疊部分為直角梯形，如圖②．

．

③當6≤＜8時，重疊部分為五邊形，如圖③．

可得，，．

=．

④當8≤＜10時，重疊部分為五邊形，如圖④．

=．

⑤當10≤≤14時，重疊部分為矩形，如圖⑤．

．


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