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東城區2008―2009學年度第一學期期末教學目標檢測

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．A    2．A    3．B    4．A    5．C    6．D    7．D    8．B

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．x＝－1   10．40   11．4   12．2，   13．    14．－1＜m＜1

注：兩個空的填空題第一個空填對得2分，第二個空填對得3分.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（本小題滿分13分）

（Ⅰ）解：f（x）＝cos²x－sin²x＋2sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1

＝2sin＋1. ……………………………………………4分

因此f（x）的最小正周期為，由＋2k≤2 x＋≤＋2 k，k∈Z得

＋k≤x≤＋k，k∈Z．

故f（x）的單調遞減區間為， k∈Z．……………8分

（Ⅱ）當x∈時，2x＋∈，

        則f（x）的最大值為3，最小值為0．………………………………………13分

16．（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）要得40分，8道選擇題必須全做對，在其余四道題中，有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以得40分的概率為

P＝×××＝． ………………………………………………6分

（Ⅱ）依題意，該考生得分的集合是{20，25，30，35，40}，得分為20表示只做對了四道題，其余各題都做錯，所求概率為

P₁＝×××＝；

同樣可求得得分為25分的概率為

P₂＝××××＋×××＋×××＝；

得分為30分的概率為P₃＝；

得分為35分的概率為P₄＝；

得分為40分的概率為P₅＝．……………………………………………12分

所以得分為25分或30分的可能性最大． …………………………………13分

17．（本小題滿分14分）

    解法一：

（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CC₁底面

ABC，BC₁在底面上的射影為CB．

由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．

所以ACBC₁． ……………………………4分

（Ⅱ）設BC₁與CB₁交于點O，

則O為BC₁中點．連結OD．

在△ABC₁中，D，O分別為AB，

BC₁的中點，故OD為△ABC₁的中位線，

∴OD∥AC₁，又AC₁中平面CDB₁，

OD平面CDB₁，

∴AC₁∥平面CDB₁． ………………………9分

（Ⅲ）過C作CEAB于E，連結C₁E．

由CC₁底面ABC可得C₁EAB．

故∠CEC₁為二面角C₁－AB－C的平面角．

在△ABC中，CE＝，

在Rt△CC₁E中，tan C₁EC＝＝，

∴二面角C₁－AB－C的大小為arctan．………………………………… 9分

解法二：

∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三邊長AC＝3，BC＝4，AB＝5，

∴AC，BC，CC₁兩兩垂直．如圖以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C－xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）．

（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），

∴?＝0，故AC BC₁. …………………………………………4分

（Ⅱ）同解法一   …………………………………………………………………9分

（Ⅲ）平面ABC的一個法向量為m＝（0，0，1），

設平面C₁AB的一個法向量為n＝（x₀，y₀，z₀），

＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．

由得令x₀＝4，則z₀＝3，y₀＝3．

則n＝（4，3，3）．故cos＞m，n＞＝＝．

所求二面角的大小為arccos.  ……………………………………14分

18.（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）當m＝1時，f（x）＝?x（x?1）²＝?x³＋2x³－x，得f（2）＝－2由

f′（x）＝?3x³＋4x?1，得f′（2）²＝?5.  ……………………4分

所以，曲線y＝?x（x?1）²在點（2，?2）處的切線方程是y＋2＝?5（x?2），整理得5x＋y?8＝0. …………………………………………6分

（Ⅱ）f（x）＝?x（x?m）²＝?x³＋2mx²?m²x，

f ′（x）＝?3 x ²＋4m x?m²＝?（3 x?m）（x?m），

令f ′（x）＝0解得x＝或x＝m.  ……………………………………10分

由于m＜0，當x變化時，f ′（x）的取值情況如下表：

x

（－∞，m）

m

  f ′（x）

―

0

＋

0

―

因此函數f（x）的單調增區間是，且函數f（x）在x＝m處取得     極小值f（m）＝0. ………………………………………………………13分

19.（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由橢圓定義知2a＝4，故a＝2．即橢圓方程為＋＝1,將（1，1）代入得

b²＝．故橢圓方程為＋＝1．…………………………………4分

因此c²＝4－＝，離心率e＝． ………………………………6分

（Ⅱ）設C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），由題意知，AC的傾斜角不為90°，

故設AC的方程為y＝k（x－1）＋1，聯立

消去y得（1＋3k²）x ²－6k（k－1）x＋3k²－6k－1＝0

……………………………………………………………………………8分

由點A（1，1）在橢圓上，可知x_C＝．

因為直線AC，AD的傾斜角互補，

故AD的方程為y＝－k（x－1）＋1，同理可得x_D ＝．

所以x_C－x_D＝．

又y_C＝k （x_C－1）＋1，y_D＝－k  （x_D－1）＋1，y_C－y_D＝k （x_C＋x_D）－2k＝，

所以k_CD＝＝，即直線CD的斜率為定值．……………13分

20．（本小題滿分14分）

解：（Ⅰ）因為數列{b_n}是等差數列，故設公差為d，

則b_n＋1－b_n＝d對n∈N^*恒成立．依題意b_n＝a_n，a_n＝．

由a_n＞0，

所以＝＝是定值，從而數列{a_n}是等比數列.…5分

（Ⅱ）當n＝1時，a₁＝S₁＝，當n≥2時，a_n＝S_n－S_n-1＝，當n＝1時也適合此式，即數列{a_n}的通項公式是a_n ．……………………… 7分

由b_n＝a_n，數列{b_n}的通項公式是b_n＝n．…………………………8分

所以P_n，P_n＋1，過這兩點的直線方程是y－n＝－2^n＋1，該直線與坐標軸的交點是A_n和B_n（0，n＋2）．

c_n＝×＝．……………………………………11分

因為c_n－c_n＋1＝－＝＝＞0．

即數列{c_n}的各項依次單調遞減，所以要使c_n≤t對n∈N^*恒成立，只要c₁≤t，又c₁＝，可得t的取值范圍是．  …………………13分

故實數t的取值范圍是． …………………………………14分