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《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：擺線探究》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中，觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)，了解平擺線的生成過程并能推導(dǎo)出參數(shù)方程．

了解動(dòng)圓在定圓上滾動(dòng)時(shí)形成的擺線（外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過程，了解三種擺線的內(nèi)在聯(lián)系及相應(yīng)分類，會(huì)在具體刻畫中對(duì)變幅擺線進(jìn)行簡(jiǎn)單的分類．

了解擺線在實(shí)際中應(yīng)用的實(shí)例．

能力目標(biāo)：

提高學(xué)生的信息技術(shù)素養(yǎng)，提高學(xué)生的觀察能力和研究能力

情感目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探求知識(shí)、合作交流的意識(shí)，在學(xué)生的親身操作中，感受曲線的美感受，數(shù)學(xué)的力量，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念．

教學(xué)過程：

一、平擺研究

1、情境創(chuàng)設(shè)

問題：如圖，一個(gè)人的自行車外帶上沾了一點(diǎn)白色油漆，當(dāng)他騎車向前直行時(shí)，這個(gè)白色油漆斑點(diǎn)在空中會(huì)描出一條什么樣的曲線？

引導(dǎo)學(xué)生拖動(dòng)點(diǎn)C，使車輪在地面上滾動(dòng)，觀察點(diǎn)P的軌跡；學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P的軌跡是一條以前沒有研究過的曲線．從而引入主題，即：一個(gè)圓沿著一條直線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做平擺線，又叫旋輪線.．

操作提示：先按【滾動(dòng)】或直接拖動(dòng)點(diǎn)C，使得圓在直線上無滑滾動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)、猜想點(diǎn)P軌跡的形狀；繼而【追蹤】，直觀刻畫點(diǎn)P的軌跡形狀，

2、方程探究

通過對(duì)平擺線的直觀研究，可以發(fā)現(xiàn)平擺線的一些性質(zhì)如：圖象是由一些呈周期性排列的拱組成，每個(gè)拱的拱高為2r，拱底長(zhǎng)為2πr．引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到進(jìn)一步研究平擺線需要研究其曲線方程．

以問題：“如何才能實(shí)現(xiàn)動(dòng)圓在直線上無滑滾動(dòng)呢？”為主線引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中探究，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)在滾動(dòng)過程中保持線段AC及弧長(zhǎng)的長(zhǎng)度相等，從而進(jìn)一步嘗試方程的推導(dǎo)如下：

設(shè)是軌跡上任一點(diǎn)，

則

那么，從而得出相應(yīng)的軌跡參數(shù)方程．

操作提示：按【比較】會(huì)顯示線段AC及弧長(zhǎng)的動(dòng)態(tài)度量值，從而能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)其中的規(guī)律．

3、平擺變幅

在問題：“P點(diǎn)的軌跡是平擺線，若直線OP上另有一點(diǎn)Q，那么圓在直線上作無滑滾動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)的軌跡如何呢？” 的指引下，引導(dǎo)學(xué)生探究相應(yīng)的軌跡，從而得出下列結(jié)論：一個(gè)圓沿著一條直線作無滑動(dòng)的滾動(dòng)時(shí)，圓周上的一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做平擺線，圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做短幅平擺線；圓外一個(gè)定點(diǎn)的軌跡叫做長(zhǎng)幅平擺線．

操作提示：按紐【軌跡】會(huì)給出點(diǎn)Q的軌跡，拖動(dòng)點(diǎn)Q能幫助學(xué)生初步對(duì)變幅擺線形成動(dòng)態(tài)印象；按紐【比較】會(huì)給出兩條典型的短幅擺線和長(zhǎng)幅擺線，再次拖動(dòng)點(diǎn)Q可以幫助學(xué)生形成整體動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)，從而能認(rèn)識(shí)到可以根據(jù)點(diǎn)Q相對(duì)于圓的位置對(duì)變幅擺線加以分類．

二、拓展研究

1、外擺線探究

有了平擺線的研究經(jīng)歷和基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)類似情境“動(dòng)圓在定圓外滾動(dòng)會(huì)得到什么樣的曲線呢”的研究會(huì)產(chǎn)生極大的興趣． 學(xué)生在如圖所示的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中容易發(fā)現(xiàn)，軌跡是一條與平擺線相似的曲線，從而引出探究主題，即動(dòng)圓在定圓外無滑滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上的一個(gè)定點(diǎn)的軌跡是外擺線．

操作提示：與平擺線的研究相類似，學(xué)生在外擺線的探究上也須經(jīng)歷一個(gè)由感性認(rèn)識(shí)到理性升華的過程，先讓學(xué)生在【滾動(dòng)】中猜想外擺線的形狀，通過【追蹤】驗(yàn)證直覺判斷，繼而通過【比較】度量值的大小，從而對(duì)動(dòng)圓在定圓外無滑滾動(dòng)有所感悟，從而對(duì)外擺線有個(gè)全面而深刻的認(rèn)識(shí)．

2、擺線拓展

在前面探究的基礎(chǔ)上，改變相應(yīng)的R、r的值，可以得到不同類型的擺線模型，初步認(rèn)識(shí)到擺線的形狀取決于R、r的比例．

操作提示：選中參數(shù)R或r的度量值，按動(dòng)小鍵盤上的“+”或“-”改變相應(yīng)參數(shù)的值，可以發(fā)現(xiàn)擺線的形狀發(fā)生變化，當(dāng)r值為負(fù)時(shí)表示動(dòng)圓在定圓內(nèi)滾動(dòng)；拖動(dòng)半徑r的兩端點(diǎn)可以改變圖形的大小，從而能在屏幕上得到合適的顯示．

3、擺線全景

在實(shí)驗(yàn)平臺(tái)中同時(shí)顯示四個(gè)圖，目的是讓學(xué)生對(duì)擺線形成整體認(rèn)識(shí)，即擺線包括三種類型：外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線，并在比較中歸納出擺線的分類（如下表，根據(jù)R、r的相對(duì)比例）：

操作提示：按動(dòng)按紐【選中R】將選中全部四個(gè)圖中參數(shù)R，這樣再按小鍵盤上的“+”或“-”就可以同時(shí)改變四個(gè)圖中的參數(shù)了，從而可以地實(shí)現(xiàn)對(duì)擺線的整體研究，按動(dòng)按紐【選中r】也有相類似的效果．

在R或r的值過大的情況下，對(duì)應(yīng)的圖形也會(huì)超出相應(yīng)的范圍，這樣不利于觀察圖形的特征，可以拖動(dòng)綠色點(diǎn)（與紅色點(diǎn)接近圖形縮小，反之則圖形放大）后再按按紐【統(tǒng)一長(zhǎng)度】即可解決問題．

4、擺線變幅

在順利研究了擺線的分類后，與平擺線的變幅相類似，學(xué)生在問題“P點(diǎn)的軌跡是擺線，若直線OP上另有一點(diǎn)Q，那么動(dòng)圓P在定圓O外（或內(nèi)）作無滑滾動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)的軌跡如何呢”的引領(lǐng)下，很自然地會(huì)想到研究擺線的變幅．

在相應(yīng)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的支持下，學(xué)生容易認(rèn)識(shí)到：當(dāng)Q點(diǎn)在圓P上時(shí)，Q點(diǎn)的軌跡是擺線；當(dāng)Q點(diǎn)在圓P內(nèi)時(shí)，Q點(diǎn)的軌跡是短幅擺線；當(dāng)Q點(diǎn)在圓P外時(shí)，Q點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)幅擺線．

操作提示：在顯示【軌跡】的基礎(chǔ)上，拖動(dòng)點(diǎn)Q，隨著點(diǎn)Q相對(duì)于動(dòng)圓的位置不同，將產(chǎn)生不同的變幅擺線；同時(shí)也可改變參數(shù)R或r，觀察不同類型的擺線的變幅，感受其異同之處，對(duì)擺線的變幅形成整體認(rèn)識(shí)．

5、哥白尼定理

在擺線全景中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)特殊情形下的擺線會(huì)成為一條直線，從而產(chǎn)生探究興趣．動(dòng)圓P在定圓O內(nèi)無滑滾動(dòng)且R=2|r|時(shí)，動(dòng)圓上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡是定圓的一條直徑（哥白尼定理）．根據(jù)哥白尼定理，可以把旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)變成往返的直線運(yùn)動(dòng)，這一定點(diǎn)機(jī)械設(shè)計(jì)上是很有用的．上述條件下，動(dòng)圓所在平面內(nèi)與動(dòng)圓固定地連接在一起的圓內(nèi)（或圓外）一點(diǎn)的軌跡是橢圓（卡丹轉(zhuǎn)盤）．

操作提示：拖動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，對(duì)應(yīng)的變幅曲線是圓；當(dāng)Q點(diǎn)處于其他位置時(shí)，相應(yīng)的變幅曲線為一橢圓．