北京市西城區2009年抽樣測試
高三數學試卷(文科) 2009．1
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分．考試時間120分鐘．
題號
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
分數
第Ⅰ卷 (選擇題 共40分)
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目
1．若集合A={1，2，3，4}，B={2，4，7，8}，C={1，3，4，5，9}，則集合(A∪B)∩C等于( )
A．{2，4} B．{1，2，3，4}
C．{2，4，7，8} D．{1，3，4}
2．若向量a=(1，2)，b=(－3，4)，則(a?b)( a+b)等于( )
A．20 B．(－10，30)
C．54 D．(－8，24)
3．若tanα=.files/image002.gif)
，且sinα?cotα<0，則sinα等于( )
A．－.files/image004.gif)
B．
C．－.files/image006.gif)
D．
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4．已知函數f(x)=3x，那么函數f (x)的反函數f-1(x)的定義域為( )
A．{x| x >1} B．{ x | x >0}
C．{ x | x >0且x≠l} D．R
5．已知m是平面α的一條斜線，點A.files/image008.gif)
α，l為過點A的一條動直線，那么下列情形可能
出現的是( )
A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m, l∥α D．l∥m, l∥α
6．分配4名水暖工去3個不同的居民家里檢查暖氣管道．要求4名水暖工都分配出去，且
每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有( )
A．A43種 B．A
C．C
7．已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M，設A為圓上任一點，N(2，0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是( )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
.files/image010.jpg)
8．如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，在P處有一
棵樹與兩墻的距離分別是am (0<a<12)、
的粗細．現在想用
形的花圃ABCD．設此矩形花圃的最大面積為S，若將這
棵樹圍在花圃內，則函數S=f(a)(單位m2)的圖象大致是( )
.files/image012.jpg) |
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高三數學試卷(文科) 2009．1
第Ⅱ卷 (共110分)
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．
9．若雙曲線的離心率為2，兩焦點坐標為(-2，0)，(2，0)，則此雙曲線的方程為
．
.files/image014.jpg)
10．已知實數x，y滿足
則z=2x+4y的最大值為
．
11．在(2x+.files/image016.gif)
)6的展開式中，常數項為
．
12．若A，B兩點在半徑為2的球面上，且以線段AB為直徑的小圓周長為2π，則此球的表面積為 ，A，B兩點間的球面距離為 ．
13．對于函數f(x)=sin x，g(x)=cos x，h(x)= x+.files/image018.gif)
，有如下三個命題：
①f(x)－g(x)的最大值為.files/image020.gif)
；
②f [h(x)]在區間[－.files/image022.gif)
，0]上是增函數；
③將f(x)的圖象向右平移個單位可得g(x)的圖象．
其中真命題的序號是 ．
14．已知f(x)、g(x)都是定義在R上的函數，如果存在實數m、n使得
h(x)= mf(x)+ ng(x)，
那么稱h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個函數．
設f(x)=x2+x、g(x)=x+2，若h(x)為f(x)、g(x)在R上生成的一個偶函數，且f(1)=3,則函數h(x)= ．
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三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分12分)
在△ABC中，a、b、c分別是三個內角A、B、C的對邊，設a=4，c=3，cos.files/image024.gif)
=．
(Ⅰ)求b的值；
(Ⅱ)求△ABC的面積．
16．(本小題滿分12分)
在甲、乙兩個批次的某產品中，分別抽出3件進行質量檢驗．已知甲、乙批次每件產
品檢驗不合格的概率分別為.files/image027.gif)
、.files/image029.gif)
，假設每件產品檢驗是否合格相互之間沒有影響．
(Ⅰ)求至少有2件甲批次產品檢驗不合格的概率；
(Ⅱ)求甲批次產品檢驗不合格件數恰好比乙批次產品檢驗不合格件數多2件的概率．
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17．(本小題滿分14分)
如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2．
.files/image031.jpg)
(Ⅰ)求證：PD⊥BC；
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大�。�
(Ⅲ)求點D到平面PBC的距離．
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18．(本小題滿分14分)
設函數f(x)= x3－2x2+ax(a∈R)在其圖象上一點A(2，m)處切線的斜率為－1．
(Ⅰ)求函數f(x)的解析式；
(Ⅱ)求函數f(x)在區間(b－1，b)內的極值．
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19．(本小題滿分14分)
給定拋物線C：y2=4 x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交A、B兩點，O為坐標原點．
(Ⅰ)設l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
(Ⅱ)設| FA|=2| BF|，求直線l的方程．
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20．(本小題滿分14分)
已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=l，數列{an+Sn}是公差為2的等差數列．
(I)求a2，a3；
(Ⅱ)證明數列{an－2}為等比數列；
(Ⅲ)判斷是否存在λ(λ∈Z)，使不等式Sn-n+l≥λan對任意的n∈N*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，請說明理由．
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高三數學試卷(文科) 2009.1
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
C
C
B
C
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9．x2-.files/image033.gif)
=1 10．14 11．160 12．16π, .files/image035.gif)
π 13．①② 14．-3x2+6
注：兩空的題目，第一個空2分，第二個空3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.
15.（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：因為cos B=2cos2.files/image024.gif)
-1=.files/image038.gif)
，
…………………………3分
在△ABC中，由余弦定理b2= a2+c2-2accos B,
得b2=16+9-24×=22，
所以b=.files/image040.gif)
；
…………………………6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知cos B=，B∈（0, π）,
所以sim B=.files/image042.gif)
，
…………………………9分
由三角形的面積公式S=.files/image044.gif)
acsin B,
得S=×4×3×.files/image046.gif)
=.files/image048.gif)
.
所以△ABC的面積為.
…………………………12分
16.（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：記“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”為事件A. ……………1分
由題意，事件A包括以下兩個互斥事件：
①事件B：有2件甲批次產品檢驗不合格.由n次獨立重復試驗中某事件發生k次的概率公式，得P（B）=C23.files/image050.gif)
； ……………… 3分
高三數學（文科）答案 第1頁（共8頁）
②事件C：3件甲批次產品檢驗都不合格.由相互獨立事件概率乘法公式，得
P(C)=(.files/image027.gif)
)3=.files/image053.gif)
；
所以，“至少有2件甲批次產品檢驗不合格”的概率為P(A)= P(B)+ P(C)= .files/image055.gif)
；
……………… 6分
（Ⅱ）解：記“甲批次產品檢驗不合格件數比乙批次產品檢驗不合格件數多2件”為事件D.由題意，事件D包括以下兩個互斥事件:
① 事件E：3件甲批次產品檢驗都不合格，且有1件乙批次產品檢驗不合格.其概率
P(E)=().files/image057.gif)
C13(.files/image029.gif)
)1(1-)2=.files/image060.gif)
；
……………… 9分
② 事件F:有2件甲批次產品檢驗不合格,且有0件乙批次產品檢驗不合格.其概率
P(F)=C23()2(1-).(1-)3=.files/image062.gif)
;
所以,事件D的概率為P(D)= P(E)+ P(F)= .files/image064.gif)
…………… 12分
17.(本小題滿分14分)
方法一：(Ⅰ)證明：∵平面PCD⊥平面ABCD．
.files/image066.jpg)
又平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊥CD．
∴BC⊥平面PCD， ……………………3分
∵PD.files/image068.gif)
平面PCD,
∴BC⊥PD； …………………4分
(Ⅱ)解：取PD的中點E，連接CE、BE，
∵△PCD為正三角形，
∴CE⊥PD，
由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD，
∴CE是BE在平面PCD內的射影．
∴BE⊥PD，
∴∠CEB為二面角B-PD-C的平面角， ……………………7分
在△CEB中，∠BCE=90°，BC=2，CE=.files/image070.gif)
，
∴tan∠CEB=.files/image072.gif)
=.files/image074.gif)
，
∴二面角B-PD-C的大小為arctan;
…………………10分
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（Ⅲ）解：過D作DF⊥PC于F，
∵BC⊥平面PCD，
∴BC⊥DF.
∵PC∩BC=C.
∴DF⊥平面PBC,且BF∩平面PBC=F,
∴DF為點D到平面PBC的距離, …………………13分
在等邊△PCD中, DC=2, DF⊥PC,
∴CF=1,DF=.files/image076.gif)
,
∴點A到平面PBC的距離等于.
…………………14分
方法二：(Ⅰ)證明：取CD的中點為O，連接PO，
.files/image079.jpg)
∵PD=PC，∴PO⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PO⊥平面ABCD， ………………………2分
如圖，在平面ABCD內，過O作OM⊥CD交AB于M,
以O為原點，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間
直角坐標系O-xyz，
則B(2，1，0)，C(0，1，0)，D(0，－l，0)，P(0，0，)，
∵.files/image082.gif)
=(0，－l，－)，.files/image084.gif)
=(－2，0，0)，
∴?=0，
∴BC⊥PD； …………………4分
(Ⅱ)解：取PD的中點E，連接CE、BE，如(Ⅰ)建立空間坐標系，則E(0，－，.files/image087.gif)
)，
∵△PCD為正三角形，
∴CE⊥PD，
∵.files/image089.gif)
=(－2，－2，0)，.files/image091.gif)
=(－2，－1，)，
∴.files/image093.gif)
=.files/image095.gif)
=.files/image097.gif)
，
∴BE⊥PD，
∴∠CEB為二面角B-PD- C的平面角， ………………………7分
高三數學（文科）答案 第3頁（共8頁）
∵.files/image099.gif)
=(2，.files/image101.gif)
，-)，.files/image104.gif)
=(0，，-)，
∴cos∠BEC=.files/image106.gif)
=.files/image108.gif)
=.files/image110.gif)
，
∴二面角B-PD- C的大小為arccos
……………10分
(III)解：過點D作DF⊥平面PBC于F，
∴DF為點D到平面PBC的距離，設.files/image112.gif)
=h，
∵=(-2，0，0)，.files/image115.gif)
= (0，-1，)，
∴.files/image118.gif)
=0，即BC⊥CP，
∴△PBC的面積S△PBC=|BC|?|PC|=2，
∵三棱錐D-PBC的體積VD-PBC=VP-BCD，
∴.files/image121.gif)
S△PBC.files/image123.gif)
=S△BCD.files/image125.gif)
，即.files/image127.gif)
，解得h=，
∴點D到平面PBC的距離為．
……………14分
18．（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：函數f(x)的導數 f′(x)= x2-4x+a, ………………2分
由題意，得f′(2)=-4+a=-1，
所以a=3,
故f(x)=x3-2 x2+3 x；
………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知f′(x)= x2-4 x+3，
由f′(x)= x2-4 x+3=0，得x=1，或x=3.
x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(-∞，1)
1
(1，3)
3
(3，+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
.files/image130.gif)
極大值.files/image132.gif)
.files/image134.gif)
極小值0
………………8分
高三數學（文科）答案 第4頁（共8頁）
所以,當b.files/image136.gif)
1或b-1.files/image138.gif)
3時,函數f(x)無極值； ……………………10分
當b-1＜1,且b＞1時,函數f(x)在x=1時,有極大值,此時函數無極小值；
當b-1＜3,且b＞3時,函數f(x)在x=3時,有極小值0,此時函數無極大值；
當b-11,且b3時, 函數f(x)無極值. ……………………13分
故當b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+ ∞)時,函數f(x)無極值;
當b∈(1,2)時,函數f(x)在x=1時,有極大值,此時函數無極小值;
當b∈(3,4)時,函數f(x)在x=3時,有極小值0,此時函數無極大值.………14分
19．(本小題滿分14分)
方法一：(Ⅰ)解：由題意，得F(1，0)，直線l的方程為y=x-1．
由.files/image140.gif)
，得x2-6 x +1=0，
設A，B兩點坐標為A (x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M的坐標為M(x0，y0)，
則x1=3+2.files/image020.gif)
，x2=3-2，y1= x1-1=2+2，y2= x2-1=2―2，
故點A(3+2，2+2)，B(3-2，2-2)，
……………3分
所以x0=.files/image143.gif)
=3，y0= x0-1=2，
故圓心為M(3，2)，直徑.files/image145.gif)
=.files/image147.gif)
，
所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+( y-2)2=16； ………………6分
(Ⅱ)解：因為.files/image149.gif)
=2.files/image151.gif)
，三點A，F，B共線且點A，B在點F兩側，
所以.files/image153.gif)
=.files/image155.gif)
，
設A，B兩點坐標為A (x1，y1)，B(x2，y2)，則=（x1-1，y1），.files/image157.gif)
（1-x2，-y2），
所以.files/image159.gif)
①
因為點A，B在拋物線C上，
所以y12=4x1，y22=4x2， ② ………………10分
高三數學（文科）答案 第5頁（共8頁）
由①②，解得.files/image161.gif)
或.files/image163.gif)
所以A(2,2)，B(,-)，或A(2,-2)，B(,)，………13分
故直線l的方程為2x-y-2=0，或2x+y-2=0. ………14分
方法二：(Ⅰ)解:由題意,得F(1,0),直線l的方程為y=x-1.
由，得x2-6x+1=0,
設A, B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M的坐標為M(x0,y0),
因為△=62-4=32＞0,所以x1+ x2=6, x1x2=1,
所以x0==3,y0= x0-1=2,故圓心為M(3,2),
………………3分
由拋物線定義,得=.files/image170.gif)
+=(x1+.files/image173.gif)
)+(x2+)= x1+ x2+p=8,
所以= x1+ x2+P=8(其中p=2).
所以以AB為直徑的圓的方程為(x-3)2+( y-2)2=16； ………………6分
(Ⅱ)解：因為=2，三點A, F，B共線且點A, B在點F兩側，
所以=2，
設A, B兩點坐標為A(x1,y1),B(x2,y2)則=（x1-1，y1），=（1-x2，-y2），
所以
①
………………9分
設直線AB的方程為y= k(x-1)或x=1（不符合題意，舍去）.
由.files/image179.gif)
，消去x得ky2-4y-4k=0，
因為直線l與C相交于A, B兩點，所以k≠0，
則Δ=16+16k2>0，y1+y2=.files/image181.gif)
，y1 y2=-4，
②
高三數學（文科）答案 第6頁（共8頁）
由①②，得方程組.files/image183.gif)
，解得.files/image185.gif)
或.files/image187.gif)
，……13分
故直線l的方程為x- y-=0，或 x + y-=0. ……14分
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:∵數列{an+Sn}是公差為2的等差數列，
∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2，
即an+1=.files/image190.gif)
，
……2分
∵a1=1，
∴a2=，a3=.files/image193.gif)
；
……4分
(Ⅱ)證明：由題意，得a1-2=-1，
∵.files/image195.gif)
∴{an-2}是首項為-1，公比為的等比數列；
……8分
(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得an-2=-()n-1，
∴an
=2-()n-1，
∵{an+Sn}是首項為a1+ S1=2，公差為2的等差數列，
∴an+Sn=2+(n-1)×2=2n，
∴Sn=2n-2+()n-1，
……9分
設存在整數λ，使不等式Sn-n+ 1λan對任意的n∈N*成立，
即存在整數λ，使不等式n-1+()n-1λ[2-()n-1]對任意的n∈N*成立，
∴當n=1時，不等式成立，解得λ1，
……10分
以下證明存在最大的整數λ=1，使不等式Sn-n+ 1λan對任意的n∈N*成立.
高三數學（文科）答案 第7頁（共8頁）
當n=2時,不等式化簡為.files/image200.gif)
，成立；
當n3時，∵（Sn-n+ 1）-an=n-3+()n-2>0，
∴（Sn-n+ 1）>an成立.
綜上,知存在整數λ，使不等式Sn-n+ 1λan對任意的n∈N*成立,且λ的最大值為1.
……14分
高三數學（文科）答案 第8頁（共8頁）
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