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湖北黃岡中學
2009屆高三年級期末考試
數學試題（文科）
一、選擇題：本次題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合
，且
，則實數
的取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D． 
2．函數
的一個增區間是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知兩不共線向量
，若
與 
共線，則
等于 （ ）
A．
； B．
C．
D．
4．已知
，且
，則
（ ）
A．
B． C．或 D．
5．在△ABC中，若B、C的對邊邊長分別為
，
，則
等于（ ）
A．
B．
C．
D．或
6．設
，則有
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，則使得
都成立的
取值范圍是 （ ）
A．
B．
C．
D.
8．已知向量
，
，
滿足
，且，，兩兩夾角均為，則
（ ）
A．
B．
C．
D．或
9．已知兩不共線向量
，
，則下列說法不正確的是（ ）
A．
B．
C．與的夾角等于
D．與在
方向上的投影相等
10．關于的不等式
的解集為 （ ）
A．（―1，1）
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．不等式
的解集為____________．
12．函數
圖像的相鄰的兩個對稱中心的距離是__________．
13．等差數列
中，
，則此數列的前
項的和等于___________．
14．設
且
，若
恒成立，則實數
的取值范圍是_________．
15．如圖，半圓的直徑
，
為圓心，為半圓
上不同于
的任意一點，若
為半徑
上的動點，
則
的最小值是__________．
三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
已知
，且
．
（1）若
為
的三內角，當
取得最小值時，求；
（2）當
時，將函數的圖象按向量
平移后得到函數
的圖象，求出所有滿足條件的向量.
17．（本小題滿分12分）
已知函數
，函數
的圖象與函數
的圖象關于原點對稱．若
時，總有
恒成立，求
的取值范圍．
18．（本小題滿分12分）
數列的前
項和為
且
．
（1）求數列的通項公式；
（2）等差數列
的各項均為正數，其前項和為
，
，又
成等比數列，求．
19．（本小題滿分12分）
（1）設是正實數，求證：
；
（2）若
，不等式是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的的值．
20．（本小題滿分13分）
甲、乙兩公司同時開發同一種新產品，經測算，對于函數
，
，當甲公司投入萬元作宣傳時，若乙公司投入的宣傳費小于
萬元，則乙公司對這一新產品的開發有失敗的風險，否則沒有失敗的風險；當乙公司投入萬元作宣傳時，若甲公司投入的宣傳費小于
萬元，則甲公司對這一新產品的開發有失敗的風險，否則沒有失敗的風險．
（1）當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產品的開發有失敗風險，至少要投入多少萬元宣傳費？
（2）若甲、乙公司為了避免惡性競爭，經過協商，同意在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，問甲、乙兩公司應投入多少宣傳費？
21．（本小題滿分14分）
已知定義在
的函數同時滿足以下三條：①對任意的
，總有
；②
；③當
時，總有
成立．
（1）函數
在區間上是否同時適合①②③？并說明理由；
（2）設
，且
，試比較
與
的大小；
（3）假設存在
，使得
且
，求證：
．
1―5 DBCBD 6―10 ABACA
11．
12．
13．13 14．
15．
16．（1）
由題，
或
，
或
， 又
，故
或
．
（2）當
時，
，
按向量
平移后得到函數
的圖象，故
．
17．由
知，
由題，
時，
恒成立．令
．
則
，
在
上單調遞減，即
又
，
恒成立，故
的取值范圍是
．
18．（1）當
時，
，即有
又
，
是公比為3的等比數列，且
，故
．
（2）由（1），
，又
，
依題
成等比數列，有
，
解得
或
，因
的各項均為正數，
，
故
．
19．（1）證明：
是正數，由重要不等式知，
故
（當
時等號成立）．
（2）若
，不等式
仍然成立．
證明：由（1）知，當
時，不等式成立；當
時，
，
而
此時不等式仍然成立．
20．（1）由
知，當甲公司不投入宣傳費時，乙公司要避免新產品的開發有失敗風險，至少要投入10萬元宣傳費．
（2）設甲公司投入宣傳費x萬元，乙公司投入宣傳費y萬元，若雙方均無失敗的風險，
依題意，當且僅當
成立，故
，
則
，得
故
即在雙方均無失敗風險的情況下盡可能少地投入宣傳費用，甲公司應投入24萬元宣傳費，乙公司應投入16萬元的宣傳費用．
21．（1）顯然
，在[0，1]滿足①
；滿足②
；
對于③，若
，
則
，故
適合①②③．
（2）由③知，任給
時，當
時，
由于
，
所以
（3）（反證法）由（2）知，若
，則
前后矛盾；
若
，則
前后矛盾；故
得證．
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