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1993年全國高考數學科命題組就指出：“要考查一些開放問題”，國家教委將“數學開放題”列為九五重點科研項目．相對于傳統的封閉題嚴密完整，開放題在構成問題的要素――條件、策略、結論中有一些是不明確的（分別稱為條件開放題、策略開放題、結論開放題）．當前數學開放題之所以引起我們中學數學教師的關注，我以為一是以實踐能力、創新意識的培養為核心的素質教育的深入的需要．數學開放題對培養學生思維的發散性（結論開放）、聚斂性(條件開放)、創造性（策略開放），不失為好載體．二是高考命題的導向作用，數學開放題走進高考試卷的需要．三是數學走向應用的需要．我們的數學教育不僅要讓學生學會繼續深造所必需的數學基本知識，基本方法，基本技能，更重要的是讓學生學會用數學的眼光看待世界，用數學的思維方式去觀察分析現實社會，去解決現實生活中的問題．

為了滿足上述三方面的需要，必需將開放題引進課堂教學．本文談對數學開放題教學的一些認識，不當之處，謹請多多指教．

１、砸破籬笆，讓學生展開想象的翅膀

青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代．開放題往往形式活潑，供學生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學生提供了一個展翅的舞臺．而封閉題往往形式單一，要求學生在特定的范圍內進行定向思維．長期作這類機械式的思維訓練，學生的思維中將立起一道道難以逾越的籬笆．這樣的教學活動，不僅沒有促進學生進一步開放自己，反而束縛了他們的思想．通過開放式教學，可以讓學生砸破這些禁錮思想的籬笆，展開想象的翅膀，自由地發揮自身才華．

根據我校搬遷前曾有一塊操場需要改造這一實際，我們編擬：

開放題１我校準備在長120米，寬100米的空地上建造操場，請同學們設計操場形狀，思考能否造出滿足以下條件的環形操場．

①每道跑道寬1.22米；②跑道用直線或圓弧吻接；③跑道共八道且內圈為300米．

本題有學生認為不能造出滿足要求的操場，他認為操場應由兩個半圓和一個矩形構成（如圖１），經計算，跑道內圈無論如何達不到300米的要求．也有學生認為能造出滿足要求的操場，可將操場設計成如圖２，由四個四分之一圓弧及五個矩形構成．還有學生將操場設計成如圖３，彎道部分由三段圓弧組成，他們認為這樣才是操場．更有學生將操場設計成花園式（如圖４），跑道全部由圓弧組成，他們認為這樣的操場更美．

開放題2 用一塊長2米，寬1.6米的玻璃加工出橢圓形鏡子（鏡面為完整的一體）．①要使鏡面面積最大，該如何設計加工鏡子(注S_橢=)．

本題主要考察學生如何畫出橢圓，培養學生的動手能力．可以用硬紙板代替玻璃，讓學生親手畫一畫，動手截一下．學生至少可從以下幾個角度去思考:①建立坐標系，寫出方程描點；②確定焦點，長軸長，由第一定義得到；③用解析幾何課本P116橢圓參數方程的定義；④用橢圓規工作原理(P124)．

2、傳授定式，幫學生克服畏懼的心理

開放題引入課堂教學之初，學生的表現往往士為一是覺得好奇，感到有趣；二是感到畏懼，不知從何處入手．這就要求我們教師介紹一些典型開放題的求解思路，幫學生建立科學的思維定式．

⑴尋找充分條件型開放題．

開放題3　在直四棱柱中（如圖５），當底面四邊形ABCD滿足條件時，有（填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形1998高考卷第18題）．

這類題型，只需找到能使結論成立的一個充分條件即可，而不必去尋找結論成立的充要條件．這類問題的要求并不高，可考慮特殊值或極端情形，從而找出充分條件．這一點，學生一開始往往不習慣．

⑵“是否存在”型開放題．

開放題4 設{}是由正數組成的等比數列,是其前n項和.是否存在常數Ｃ>0,使得成立？并證明你的結論（1995高考卷第25題）．

這類開放題的答案，不是肯定就是否定，開放度較小．若“存在”，就是具有適合條件的某種數學對象，無論用什么方法，只要找出一個就說明存在．若“不存在”，一般需要有嚴格的推理論證．故這類“是否存在”型開放題的解決思路一般為，先假設存在滿足條件的數學對象，如果找出矛盾，說明假設不成立，進而否定假設，如果經過嚴格推理，沒有找到矛盾，說明確實存在，找出滿足條件的一個對象即可．

⑶猜想型開放題．

開放題5 已知數列{b_n}是等差數列,b₁＋b₂＋……＋b_ｎ＝145， b₁=1．①求數列{b_n}的通項b_n；②設數列{a_n}的通項a_n=其中a＞0且a≠1），s_n是數列{a_n}的前n項和，試比較s_n與的大小(1998高考理科第25題)．

解答這類開放題，要求學生學會猜想．牛頓早就說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現．”美國數學教育家彼利亞在1953年也大聲疾呼：“讓我們教猜測吧！”可我們在日常教學中，往往過分強調數學學科的嚴謹性和科學性，忽視實驗猜想等合情推理能力的培養，讓學生覺得數學枯燥、無趣、難學．

我們應該教會學生如何猜想．教學生通過實驗、觀察，進行猜想，教學生通過對特例（特殊值）的分析、歸納, 猜想一般的規律（共性），教學生通過比較、概括得到猜想，教學生對具體問題的特殊解從宏觀上作出估算．先有猜想，再作嚴密的數學證明．這樣“既教猜想，又教證明”，讓學生體會到數學也是生動活潑，充滿激情，并富有哲理的一門學科．不至于學生說“過了幾十年，還做學習數學的惡夢”（徐利治語，見文５）．

３、開展實驗，用計算機輔助開放式教學

利用計算機強大的計算功能和作圖功能輔助開放式教學，有利于改善課堂氣氛，激發學生的學習興趣；有利于“觀察（實驗）、猜想、證明（否定）”這一思想方法的運用，快捷方便地驗證學生自己作出的猜想，從而充分利用課堂活動的時間．

開放題6 （荒島尋寶）從前，有個年輕人在曾祖父的遺物中發現一張破羊皮紙，上面指明了一項寶藏，內容是這樣的：

“在北緯＊＊，西經＊＊，有一座荒島，島的北岸有一片草地，草地上有一棵橡樹，一棵松樹和一座絞架．從絞架走到橡樹，并記住所走的步數，到了橡樹向左拐一個直角，再走相同的步數并在那里打個樁．然后回到絞架再朝松樹走去，同時記住所走的步數，到了松樹向右拐一個直角，再走相同的步數并在那里也打個樁，在兩樁連線的正中挖掘，就可獲得寶藏．”

年輕人欣喜萬分，租船來到海島上，找到了那片草地，也找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了．長期的日曬雨淋，一切痕跡也不復存在．年輕人無從下手，只好空手而返．同學們，你能用數學方法幫助這位年輕人嗎？