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考試內容：

數列。等差數列及其通項公式、前n項和的公式。等比數列及其通項公式、前n項和的公式。

數列的極限及其四則運算。

數學歸納法及其應用。

考試要求：

(1)理解數列的有關概念。了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項。

(2)掌握等差數列與等比數列的概念、通項公式、前n項和的公式，并能夠運用這些知識解決一些問題。

(3)了解數列極限的意義，掌握極限的四則運算法則，會求公比的絕對值小于1的無窮等比數列前n項和的極限。

(4)了解數學歸納法的原理，并能用數學歸納法證明一些簡單問題。

1. 給出20個數:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它們的和是(   )(86年(5)3分)
(A)1789            (B)1799           (C)1879            (D)1899

2. 設命題甲:△ABC的一個內角為60o，命題乙:△ABC的三個內角的度數成等差數列.那么(   )(88年(11)3分)
(A)甲是乙的充分不必要條件             (B)甲是乙的必要不充分條件
(C)甲是乙的充要條件                   (D)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

3. 已知{an}是等比數列,如果a1＋a2＋a3＝18,a2＋a3＋a4＝－9,Sn＝a1＋a2＋……＋an,那么的值等于(   )(89年(5)3分)
(A)8               (B)16             (C)32              (D)48

4. 已知{an}是等比數列,且an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,那么a3＋a5＝(   )(91年(7)3分)
(A)5               (B)10             (C)15              (D)20

5. 的值等于(   )(91年(12)3分)
(A)0               (B)1              (C)2               (D)3

6. 在各項均為正數的等比數列{an}中,若a5a6＝9,則log3a1＋log3a2＋……＋log3a10＝(   )(93年(7)3分)
(A)12              (B)10             (C)8               (D)2＋log35

7. 某種細菌在培養過程中,每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個),經過3個小時,這種細菌由一個可繁殖成(   )(94年(5)4分)
(A)511個           (B)512個          (C)1023個          (D)1024個

8. 等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若＝(   )(95年(12)5分)
(A)1               (B)            (C)              (D)

9. 等比數列an的首項a1＝－1，前n項和為Sn，已知等于(   )(96年(10)4分)
(A)              (B)－           (C)2               (D)－2

10.  等差數列{an}的前m項和是30，前2m項和是100，則它的前3m項和是(   )(96年(12)5分)
(A)130             (B)170            (C)210             (D)260

11.  在等比數列{an}中,a1＞1,且前n項和Sn滿足,那么a1的取值范圍是(   )(98年(15)5分)
(A)(1,＋∞)        (B)(1,4)          (C)(1,2)           (D)(1,)

1. ＝____________.(86年(14)4分)

2. ＝____________.(87年(12)4分)

3. 已知等比數列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，則＝_______.(88年(24)4分)

4. 已知{an}是公差不為0的等差數列，如果Sn是{an}的前n項和，那么等于_______.(90年(18)3分)

5. 已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數列，則的值是_________.(92年(23)3分)

6. 已知等差數列{an}的公差d＞0，首項a1＞0，S＝______.(93年(24)3分)

1. 設a  (n＝1,2,3……),
Ⅰ.證明不等式對所有的正整數n都成立;
Ⅱ.設b (n＝1,2,3……),用極限定義證明.(85年(16)10分)

2. 已知x1＞0,x1≠1,且x (n＝1,2,3……).試證:數列{xn}或者對任意的自然數n都滿足xn＜xn＋1,或者對任意的自然數n都滿足xn＋1＜xn.(86年(22)12分)

3. 設數列a1,a2,……an,……的前項和Sn與an的關系是Sn＝－ban＋1－,其中b是與n無關的常數,且b≠－1,
Ⅰ.求an和an＋1的關系式;
Ⅱ.寫出用n和b表示an的表達式;
Ⅲ.當0＜b＜1時,求極限Sn.(87年(20)12分)

4. 是否存在常數a,b,c,使得等式1?22＋2?32＋……＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切自然數n成立？并證明你的結論.(89年(23)10分)

5. 有四個數,其中前三個數成等差數列,后三個數成等比數列,并且第一個數與第四個數的和是16,第二個數與第三個數的和是12,求這四個數.(90年(21)10分)

6. 設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a3＝12,S12＞0,S13＜0,
Ⅰ.求公差d的取值范圍;
Ⅱ.指出S1,S2,……S12中哪一個值最大,并說明理由.(92年(27)10分)

7. 設{an}是正數組成的數列,其前n項的和為Sn,并且對所有的自然數n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項,
Ⅰ.寫出數列{an}的前3項;
Ⅱ.求數列{an}的通項公式(寫出推導過程);
Ⅲ.令b,(n∈N),求(b1＋b2＋……＋bn－n).(94年(25)14分)

8. 設{an}是由正數組成的等比數列,Sn是其前n項和,
Ⅰ.證明:(lgSn＋lgSn＋2)＜lgSn＋1;
Ⅱ.是否存在常數c＞0,使得[lg(Sn－c)＋lg(Sn＋2－c)]＜lg(Sn＋1－c)成立?并證明你的結論.(95年(25)12分)

9. 已知數列{an},{bn}都是由正數組成的等比數列,公比分別為p,q,其中p＞q,且p≠1,q≠1.設cn＝an＋bn,Sn為數列{cn}的前項和,求.(97年(21)11分)

10.  已知數列{bn}是等差數列,b1＝1,b1＋b2＋……＋b10＝145.
①求數列{bn}的通項bn;
②設數列{an}的通項an＝loga(1＋)(其中a>0且a≠1),記Sn是數列{an}的前n項和.試比較Sn與的大小,并證明你的結論.(98年(25)12分)

11. 右圖為一臺冷軋機的示意圖,冷軋機由若干對軋輥
組成,帶鋼從一段輸入,經過各隊軋輥逐步減薄后輸出
(1)輸入帶鋼的厚度為α,輸出帶鋼的厚度為β,若每對軋輥
的減薄率不超過r0,問冷軋機至少需要安裝多少對軋輥?
(一對軋輥減薄率＝)
(2)已知一臺冷軋機共有4對減薄率為20%的軋輥,所有軋輥周長均為1600mm,若第k對軋輥有缺陷,每滾動一周在帶鋼上壓出一個疵點,在冷軋機輸出的帶鋼上,疵點的間距為Lk,為了便于檢修,請計算L',L2,L3并填入下表(軋鋼過程中,帶鋼寬度不變,且不考慮損耗)(99年(22)12分)

軋輥序號k

1

2

3

4

疵點間距Lk(單位:mm)

1600

12. 已知函數y＝f(x)的圖象是自原點出發的一條折線,當n≤y≤n＋1(n＝0,1,2,…)時,該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數b≠1),設數列{xn}有f(xn)＝n(n＝1,2,…)定義
(1)求x1,x2和xn的表達式;(2)求f(x)的表達式,并寫出其定義域
(3)證明y＝f(x)的圖象與y＝x的圖象沒有橫坐標大于1的交點(99年(23)14分)