西安中學高三第三次年級統考數 學 試 卷（理科）
命題人：陳昭亮 審題人：董小平
第Ⅰ卷 選擇題（共60分）
一．選擇題 （本大題共12小題，每小題5分，.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）
1．設集合
，則
( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
2. 已知等差數列
=（ ）
A．18 B．
3.設
，則
的大小關系為（ ）
A.
B. 
C.
D.
4．設
、
是兩條不同的直線，
、
是兩個不同的平面，給出下列命題：①∥,⊥，則⊥；②若⊥，⊥，⊥，則⊥；③若⊥，⊥，
，則∥；④⊥，⊥，則∥，或. 其中真命題是（ ）.
A．①④ B．②④ C．②③ D．③④
5．函數
且
在
上的最大值與最小值的和是
，則的值是（ ）
A．
B．
C．2 D．4
6．若拋物線
的焦點與橢圓
的右焦點重合，則p的值為（ ）
A．－2 B．
7．在函數
（
）的圖象上有一點
，此函數與 x軸、直線x＝－1及x＝t圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為S，則S與t的函數關系圖可表示為 （
）
8．已知
向量
的夾角為60°，則
的值為（ ）
A.2 B
D.
9．已知定義在R上的奇函數
滿足
，則f(－6)的值為
A. 0
B. －
10．經過點M（0，3）且方向向量為
的直線ι被圓
截得的弦長為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
11．從4名男同學，3名女同學中任選3名參加體能測試，則選到的3名同學中既有男同學又有女同學的概率為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列命題：
①若
是定義在[－1，1]上的偶函數，且在[－1，0]上是增函數，
，則
②在
中，A=B是sinA=sinB的充要條件.
③若
為非零向量，且
，則
.
④要得到函數
的圖像，只需將函數
的圖像向右平移
個單位.
其中真命題的個數有（ ）
A．1 B．
第Ⅱ卷 非選擇題（共90分）
二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13. 設隨機變量
服從正態分布
,若
,則
= .
14. 若
,則
.
15.長方體ABCD－A1B
16．設曲線
在點(0,1)處的切線與直線
垂直，則
．
三．解答題（本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本小題12分）已知函數
．
（Ⅰ）求函數的最小正周期；
（Ⅱ）求函數的單調遞增區間．
18．（本小題12分）設甲、乙兩套試驗方案在一次試驗中成功的概率均為p，且這兩套試驗方案中至少有一套試驗成功的概率為0.51，假設這兩套試驗方案在試驗過程中，相互之間沒有影響.
（I）求p的值；
（II）設試驗成功的方案的個數為，求的分布列及數學期望E.
19．（本小題12分）
如圖,四棱錐
的底面是邊長為的菱形,
,
平面
，
.
（Ⅰ）求直線PB與平面PDC所成的角的正切值;
（Ⅱ）求二面角A－PB－D的正切值.
20．（本小題12分）
已知函數
在區間（1，2
]上是增函數，
在區間（0，1）上為減函數.
（Ⅰ）試求函數
的解析式；
（Ⅱ）當
x >0時，討論方程
解的個數.
21．（本小題12分）
已知由正數組成的兩個數列
，如果
是關于
的方程
的兩根.
（1）求證：
為等差數列；
（2）已知
分別求數列的通項公式；
（3）求數
的前n項和S.
22．（本小題14分）
設
（e為自然對數的底數）
（1）求p與q的關系；
（2）若
在其定義域內為增函數，求p的取值范圍；
（3）證明：①
；②
（n∈N，n≥2）
西安中學高三第三次年級統考數學（理）答卷紙
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空題
13． ； 14. ；15. ； 16. .
三、解答題
17．
18．
19．
20．
21．
22.
三、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
A
B
B
D
B
D
A
B
C
B
四、填空題
13．2 14. 31 15. 
16. 2.
三、解答題
17．解：（Ⅰ）
．
的最小正周期
．
（Ⅱ）由
解得
∴ 
的單調遞增區間為
。
18．（I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為
由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.
所以，
， 從而，
令
（II）解：ξ的可取值為0，1，2.
所以ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
0.49
0.42
0.09
ξ的數學期望
19．（Ⅰ）取DC的中點E.
∵ABCD是邊長為
的菱形,
，∴BE⊥CD.
∵
平面
, BE
平面，∴ BE.
∴BE⊥平面PDC.∠BPE為求直線PB與平面PDC所成的角.
∵BE=
，PE=
,∴
=
=
.
（Ⅱ）連接AC、BD交于點O，因為ABCD是菱形，所以AO⊥BD.
∵平面, AO平面，
∴
PD. ∴AO⊥平面PDB.
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB.
故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.
∵AO=，OF=
，∴
=
.
20．解: （Ⅰ）
在
恒成立,
所以
,
.
又
在
恒成立,
所以 
,
.
從而有
.
故
,
.
（Ⅱ）令
,
則
所以
在
上是減函數,在
上是增函數,
從而當
時,
.
所以方程
在
只有一個解
.
21．證明：由
是關于x的方程
的兩根得
。
，
是等差數列。
（2）由（1）知
。
。
又
符合上式，
。
（3）
①
②
①―②得 
。
。
22．解：（1）由題意
（2）由（1）知：
（x>0）
令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）為增函數，只需h(x)在（0，+∞）滿足：h(x)≥0恒成立。即px2－2x+p≥0。
上恒成立
又
所以
（3）證明：①即證 lnx－x+1≤0 (x>0)，
設
.
當x∈（0，1）時，k′(x)>0，∴k(x)為單調遞增函數；
當x∈（1，∞）時，k′(x)<0，∴k(x)為單調遞減函數；
∴x=1為k(x)的極大值點，
∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1.
②由①知lnx≤x－1,又x>0，
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