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電磁感應中的能量

重點難點

1．分清能量轉化的關系：導體棒中的感應電流在磁場中受到安培力作用，如果該安培力做負功，是把其他形式的能量轉化為電能；如果安培力做正功，是把電能轉化為其他形式能量．

2．有效值問題：當線框在磁場中轉動切割勻強磁場磁感線或導體棒以簡諧運動切割磁感線時，產生的電能、熱能等都應以有效值進行運算．

3．電量的計算：當導體棒只受安培力作用時，安培力對棒的沖量為：F_安?t = BIlt，其It即為該過程中電磁感應時通過導體的電量q，即安培力沖量為Bql．當兩個過程中磁通量φ變化量Δφ相同時，由q = 可知此時通過的電量也相同，安培力沖量也相同．

規律方法

【例1】如圖所示，兩根足夠長的固定平行金屬導軌位于同一水平面，導軌上橫放著兩根相同的導體棒ab、cd與導軌構成矩形回路，導體棒的兩端連接著處于壓縮狀態的兩根輕質彈簧，兩棒的中間用細線綁住，它們的電阻均為R，回路上其余部分的電阻不計，在導軌平面內兩導軌間有一豎直向下的勻強磁場，開始時，導體棒處于靜止狀態，

剪斷細線后，導體棒在運動過程中（ AD ）

A．回路中有感應電動勢?

B．兩根導體棒所受安培力的方向相同?

C．兩根導體棒和彈簧構成的系統動量守恒，機械能守恒?

D．兩根導體棒的彈簧構成的系統動量守恒，機械能不守恒?

訓練題兩根光滑的金屬導軌，平行放置在傾角為θ的斜面上，導軌的左端接有電阻R，導軌的電阻可忽略不計，斜面處在一勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向上，質量為m，電阻可不計的金屬棒ab，在沿著斜面與棒垂直的恒力F作用下沿導軌勻速上滑，并上升高度h，如圖所示，在這個過程中（ A ）

A．作用在金屬棒上的各個力的合力所做功等于零?

B．作用在金屬棒上的各個力的合力所做的功等于mgh與電阻R上發出的焦耳熱之和?

C．恒力F與安培力的合力所做的功等于零?

D．恒力F與重力的合力所做的功大于電阻R上發出的焦耳熱?

【例2】如圖所示，固定的水平金屬導軌，間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中，質量為m的導體棒與固定彈簧相連，放在導軌上，導軌與導體棒的電阻均可忽略?初始時刻，彈簧恰處于自然長度?導體棒具有水平向右的初速度υ₀在沿導軌往復運動的過程中，導體棒始終與導軌垂直并保持良好接觸．（1）求初始時刻導體棒受到的安培力；（2）若導體棒從初始時刻到速度第一次為零時，彈簧的彈性勢能為E_p，則這一過程中安培力所做的功W₁和電阻上產生的焦耳熱Q₁分別為多少？（3）導體棒往復運動，最終將靜止于何處？從導體棒開始運動直到最終靜止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q為多少？?

【解析】導體棒以初速度υ₀做切割磁感線運動而產生感應電動勢，回路中的感應電流使導體棒受到安培力的作用?安培力做功使系統機械能減少，最終將全部機械能轉化為電阻R上產生的焦耳熱．由平衡條件知，棒最終靜止時，彈簧的彈力為零，即此時彈簧處于初始的原長狀態．

（1）初始時刻棒中產生的感應電動勢?

E = BLυ_o ①?

棒中產生的感應電流I = ②?

作用于棒上的安培力F = BIL ③?

聯立①②③，得F = ，安培力方向：水平向左??

（2）由功和能的關系，得:安培力做功W₁ = E_p-mυ?

電阻R上產生的焦耳熱Q₁ = mυ-E_P?

（3）由能量轉化及平衡條件等，可判斷：棒最終靜止于初始位置?

Q = mυ?

訓練題如圖所示，間距為l的光滑平行金屬導軌，水平地放置在豎直方向的磁感應強度為B的勻強磁場中，一端接阻值為R的電阻，一電阻為R₀質量為m的導體棒放置在導軌上，在外力F作用下從t = 0的時刻開始運動，其速度隨時間的變化規律υ = υ_msinωt，不計導軌電阻，求：

（1）從t₁ = 0到t₂ = 2π/ω時間內電阻R產生的熱量．

（2）從t₁ = 0到t₃ = 時間內外力F所做的功．

答案：（1）Q=πB²l²v_m²R/ω（R₀+R）²

（2）W=mv_m²/2 + πB²l²v_m²/4ω（R₀+R）

【例3】如圖所示a₁b₁c₁d₁和a₂b₂c₂d₂為在同一豎直平面內的金屬導軌，處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌所在的平面（紙面）向里，導軌的a₁b₁段與a₂b₂段是豎直的，距離為l₁；c₁d₁段與c₂d₂段也是豎直的，距離為l₂?x₁y₁與x₂y₂為兩根用不可伸長的絕緣輕線相連的金屬細桿，質量分別為m₁和m₂，它們都垂直于導軌并與導軌保持光滑接觸．兩桿與導軌構成的回路的總電阻為R．F為作用于金屬桿x₁y₁上的豎直向上的恒力．已知兩桿運動到圖示位置時，已勻速向上運動，求此時作用在兩桿上的重力的功率的大小和回路電阻上的熱功率．

【解析】設桿向上運動的速度為υ，因桿的運動，兩桿與導軌構成的回路的面積減少，從而磁通量也減少?由法拉第電磁感應定律，回路中的感應電動勢的大小E = B（l₂-l₁）υ，回路中的電流I = ，電流沿順時針方向?兩金屬都要受到安培力的作用，作用于桿x₁y₁的安培力為f₁ = Bl₁I，方向向上，作用于桿x₂y₂的安培力f₂ = Bl₂I，方向向下?當桿做勻速動動時，根據牛頓第二定律有F-m₁g-m₂g+f₁-f₂ = 0，解以上各式，得?

I = υ = R ?

作用于兩桿的重力的功率的大小P =（m₁+m₂）gu 電阻上的熱功率Q = I²R ?

得 P = R（m₁+m₂）g? Q = []²R?

訓練題如圖，兩根金屬導軌與水平面成30°平行放置，導軌間距0．5m，導軌足夠長且電阻不計，兩根金屬棒MN、PQ垂直導軌放置，由于摩擦，MN、PQ均剛好保持靜止，兩棒質量均為0．1kg，電阻均為0．1Ω，它們與導軌間動摩擦因素均為μ = ，空間有垂直導軌平面的勻強磁場，磁感應強度B = 0.4T現用沿導軌平面向上的力F = 1．2N垂直作用力于金屬棒MN，取g = 10m/s²，試求：

（1）金屬棒MN的最大速度；

（2）金屬棒MN運動達到穩定狀態后，1s內外力F做的功，并計算說明能量的轉化是否守恒．

答案：（1）v_m=2m/s

（2）W=2．4J

能力訓練

1．如圖水平光滑的平行金屬導軌，左端與電阻R相連接，勻強磁場B豎直向下分布在導軌所在的空間內，質量一定的金屬棒垂直擱在導軌上，令棒以一定的初速度向右運動，當其通過位置a時速率為υ_a，通過位置b時速率為υ_b，到位置C時棒剛好靜止，設導軌與棒的電阻均不計，a、b與b、c的間距相等，則關于金屬棒由a到b和由b到c的兩個過程中，以下說法正確的是（ D ）

A．通過棒截面的電量不相等?

B．棒運動的加速度相等?

C．棒通過a、b兩位置時的速率關系為υ_a＞2υ_b?

D．回路中產生的電能E_ab與E_bc的關系為：E_ab = 3E_bc?

2．如圖所示，ab、cd為兩根水平放置且相互平行的金屬軌道，相距L，左右兩端各連接一個阻值均為R的定值電阻，軌道中央有一根質量為m的導體棒MN垂直放在兩軌道上，與兩軌道接觸良好，棒及軌道的電阻不計，整個裝置處于垂直紙面向里的勻強磁場中，磁感應強度大小為B．棒MN在外驅動力作用下做簡諧運動，其振動周期為T，振幅為A，通過中心位置時的速度為υ₀，則驅動力對棒做功的平均功率為（ B ）?

A． B． ?

C． D． ?

3．一電阻為R的金屬圓環，放在勻強磁場中，磁場與圓環所在平面垂直，如圖(a)所示．已知通過圓環的磁通量隨時間t的變化關系如圖(b)所示，圖中的最大磁通量φ₀和變化周期T 都是已知量，求

(1)在t= 0到t=T/4的時間內，通過金屬圓環某橫截面的電荷量q．

(2)在t= 0到t=2T的時間內，金屬環所產生的電熱Q．

答案：(1)在t=0到時間內，環中的感應電動勢 E₁=

在以上時段內，環中的電流為 I ₁=

則在這段時間內通過金屬環某橫截面的電量 q= I ₁t

聯立求解得

(2)在到和在到t =T時間內，環中的感應電動勢 E ₁= 0

在和在時間內，環中的感應電動勢 E ₃=

由歐姆定律可知在以上時段內，環中的電流為 I ₃=

在t=0到t=2T時間內金屬環所產生的電熱 Q=2(I ₁²R t ₃+ I ₃² R t ₃)

聯立求解得 Q=

4．平行軌道PQ、MN兩端各接一個阻值R₁＝R₂＝8的電阻，軌道間距L＝1m，軌道很長，本身電阻不計。軌道間磁場按如圖所示的規律分布，其中每段垂直紙面向里和向外的磁場區域寬度均為2cm，磁感應強度的大小均為B＝1T，每段無磁場的區域寬度均為1cm，導體棒ab本身電阻r＝1，與軌道接觸良好。現使ab以v＝10m/s向右勻速運動。求：

⑴當導體棒ab從左端進入磁場區域時開始計時，設電流方向從a流向b為正方向，請畫出流過導體棒ab的電流隨時間變化關系的i―t圖象。

⑵整個過程中流過導體棒ab的電流為交變電流，求出流過導體棒ab的電流有效值。

答案：⑴ab在兩磁場中切割磁場產生的電動勢E＝BLV＝10（V）　

則ab中的感應電流大小均為（A）　

流過導體棒ab的電流隨時間變化規律如圖所示

⑵由電流圖象得流過ab棒的電流周期為T＝6×10^－3s

由　

5．如圖所示，光滑平行的金屬導軌MN、PQ相距l，其框架平面與水平面成θ角，在M點和P點間接一個阻值為R的電阻，在兩導軌間OO₁O₁′O′矩形區域內有垂直導軌平面向下、寬為d的勻強磁場，磁感應強度為B。一質量為m、電阻為r的導體棒ab，垂直擱置于導軌上，與磁場上邊界相距d₀，現使它由靜止開始運動，在棒ab離開磁場前已經做勻速直線運動（棒ab與導軌始終保持良好的接觸，導軌電阻不計）。求：

⑴棒ab在離開磁場下邊界時的速度；

⑵棒ab通過磁場區的過程中整個電路所消耗的電能。

答案：⑴導體棒ab切割磁感線產生的電動勢E＝BLv

產生的電流為

導體棒受到的安培力為 F＝BIl　

導體棒出磁場時作勻速運動，受力平衡，即mgsinθ＝F

聯立解得

⑵由能量轉化守恒得E_電＝E_G－E_K

即E_電＝＝

6．如圖光滑斜面的傾角α＝30°，在斜面上放置一矩形線框abcd，ab邊的邊長l₁＝1m，bc邊的邊l₂＝0.6m，線框的質量m＝1kg，電阻R＝0.1Ω，線框通過細線與重物相連，重物質量M＝2kg，斜面上ef線（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的勻強磁場，磁感應強度Ｂ＝0.5T，如果線框從靜止開始運動，進入磁場最初一段時間是勻速的，ef線和gh線的距離s＝11.4m，（取g＝10m/s²），求：

⑴線框進入磁場時勻速運動的速度v；

⑵ab邊由靜止開始運動到gh線所用的時間t；

⑶t時間內產生的焦耳熱．

答案：⑴因為線框進入磁場的最初一段時間做勻速運動，所以重物受力平衡

線框abcd受力平衡

ab邊進入磁場切割磁感線，產生的電動勢

形成的感應電流受到的安培力

聯立得：解得　　　　

⑵線框abcd進磁場前時，做勻加速直線運動；進磁場的過程中，做勻速直線運動；進入磁場后到運動到gh線，仍做勻加速直線運動。

進磁場前對M 對m

聯立解得：該階段運動時間為

進磁場過程中勻速運動時間

進磁場后線框受力情況同進磁場前，所以該階段的加速度仍為

解得：

因此ab邊由靜止開始運動到gh線所用的時間

⑶ J

7．如圖所示，水平固定的光滑U形金屬框架寬為L，足夠長，其上放一質量為m的金屬棒ab，左端連接有一阻值為R的電阻（金屬框架、金屬棒及導線的電阻勻可忽略不計），整個裝置處在豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B．現給棒ab一個初速度υ₀，使棒始終垂直框架并沿框架運動，如圖甲所示．?

（1）金屬棒從開始運動到達到穩定狀態的過程中，求通過電阻R的電量和電阻R中產生的熱量；?

（2）金屬棒從開始運動到達到穩定狀態的過程中求金屬棒通過的位移；?

（3）如果將U形金屬框架左端的電阻R換為一電容為C的電容器，其他條件不變，如圖乙所示．求金屬棒從開始運動到達到穩定狀態時電容器的帶電量

和電容器所儲存的能量（不計電路向外界輻射的能量）．?

答案：（1）由動量定理得即所以

由能量守恒定律得

（2）所以

（3）當金屬棒ab做切割磁力線運動時，要產生感應電動勢，這樣，電容器C將被充電，ab棒中有充電電流存在，ab棒受到安培力的作用而減速，當ab棒以穩定速度v勻速運動時，有：

BLv=U_C=

而對導體棒ab利用動量定理可得： -BL=mv-mv₀

由上述二式可求得：

8．如圖所示，兩條光滑的絕緣導軌，導軌的水平部分與圓弧部分平滑連接，兩導軌間距為L，導軌的水平部分有n段相同的勻強磁場區域（圖中的虛線范圍），磁場方向豎直向上，磁場的磁感應強度為B，磁場的寬度為S，相鄰磁場區域的間距也為S，S大于L，磁場左、右兩邊界均與導軌垂直。現有一質量為m，電阻為r，邊長為L的正方形金屬框，由圓弧導軌上某高度處靜止釋放，金屬框滑上水平導軌，在水平導軌上滑行一段時間進入磁場區域，最終線框恰好完全通過n段磁場區域。地球表面處的重力加速度為g，感應電流的磁場可以忽略不計，求：