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第十二講   平面向量及應用

★★★高考在考什么

【考題回放】

1．（寧夏，海南）已知平面向量，則向量（　Ｄ　）

Ａ．            Ｂ．     

Ｃ．              Ｄ．

2．（福建）對于向量和實數，下列命題中真命題是（  B  ）

A．若，則或       B．若，則或

C．若，則或      D．若，則

3．（北京）已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那么（　Ａ　）

Ａ．      Ｂ．     Ｃ．     Ｄ．

4．（湖北）將的圖象按向量平移，則平移后所得圖象的解析式為（　Ａ　）

Ａ．      Ｂ．

Ｃ．      Ｄ．

5．（江西文）在平面直角坐標系中，正方形的對角線的兩端點分別為，，則                        ．

6．（陜西）如圖，平面內有三個向量、、,其中與與的夾角為120°，與的夾角為30°,且||＝||＝1，||＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,則λ+μ的值為          .

7．（全國Ⅱ）在中，已知內角，邊．設內角，周長為．

（1）求函數的解析式和定義域；

（2）求的最大值．

解：（1）的內角和，由得．

    應用正弦定理，知

    ，

    ．

    因為，

    所以，

    （2）因為

               ，

    所以，當，即時，取得最大值．

★★★高考要考什么

【考點透視】

本專題主要涉及向量的概念、幾何表示、加法和減法，實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算，以及平面向量的數量積及其幾何意義、平面兩點間的距離公式、線段的定比分點坐標公式和向量的平移公式.

【熱點透析】

在高考試題中，主要考查有關的基礎知識，突出向量的工具作用。在復習中要重視教材的基礎作用，加強基本知識的復習，做到概念清楚、運算準確，不必追求解難題。熱點主要體現在平面向量的數量積及坐標運算以及平面向量在三角，解析幾何等方面的應用.

★★★高考將考什么

【范例1】出下列命題：①若，則； 

②若A、B、C、D是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；   ③若，則；    ④的充要條件是且∥； 

⑤若∥，∥，則∥。  其中，正確命題的序號是_________________.

解析：

①不正確性。兩個向量長度相同，但它的方向不一定相同。

②正確。∵且，又A、B、C、D為不共線的四點，

∴ 四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形為平行四邊形，

則，因此。

③正確。∵，∴、的長度相等且方向相同，又=，

∴、的長度相等且方向相同，∴、的長度相等且方向相同，故。

④不正確。當∥且方向相同，即使，也不能得到。

⑤不正確。考慮這種極端情況。

答案：②③。

【點晴】本題重在考查平面的基本概念。

【范例2】平面內給定三個向量：。回答下列問題：

（1）求；     （2）求滿足的實數m和n ；

（3）若∥，求實數k；

（4）設滿足∥且，求

解：

（1）依題意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）

（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）

∴    解之得

（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）

∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；

（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4），    又∵∥且，

∴解之得或

∴=（，）或=（，）

【點晴】根據向量的坐標運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解。

變式：設向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函數f(x)＝a?(a＋b).

（Ⅰ）求函數f(x)的最大值與最小正周期；

（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。

解：(Ⅰ)∵

∴的最大值為，最小正周期是。

（Ⅱ）由(Ⅰ)知

即成立的的取值集合是.

【點睛】本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力.

【范例3】已知射線OA、OB的方程分別為，，動點M、N分別在OA、OB上滑動，且。 

（1）若，求P點的軌跡C的方程；

（2）已知，，請問在曲線C上是否存在動點P滿足條件，若存在，求出P點的坐標，若不存在，請說明理由。

 解：（1）設，，

則，，

所以，即。

又因為，所以 ，代入得：。

（2），所以，

因為，所以，得，

又，聯立得，因為，所以不存在這樣的P點。

【點晴】本題是一道綜合題，重在考查向量的概念及軌跡方程的求法。

變式：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點；

（1）求點C的軌跡方程；

（2）求證：；

（3）在x軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

解：（1）設，由知，點C的軌跡為.

（2）由消y得：

設，，則，,

所以，所以，于是

（3）假設存在過點P的弦EF符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為,由消x得：，設，，

則，.

因為過點P作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以即,所以得，所以存在.