北京市西城區 2009屆高三4月抽樣測試
高三數學試卷（理科） 2009.4
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.共150分.考試時間120分鐘.
題號
分數
一
二
三
總分
15
16
17
18
19
20
第Ⅰ卷(共40分)
一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1.
已知全集
，集合
，那么集合
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2.
設i是虛數單位，復數
i
，則
等于（ ）
A. 
i
B.
i
C. 
i
D. 
i
3.
若數列
是公比為4的等比數列，且
，則數列
是（ ）
A. 公差為2的等差數列
B. 公差為
的等差數列
C. 公比為2的等比數列
D. 公比為的等比數列
4.
設a為常數，函數
. 若
為偶函數，則
等于（
）
A. -2 B. 2
C. -1 D. 1
5.
已知直線a 和平面
，那么
的一個充分條件是（ ）
A. 存在一條直線b，
B. 存在一條直線b，
C. 存在一個平面
D. 存在一個平面
6.
與直線
和圓
都相切的半徑最小的圓的方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
7．設 
R， 且
，
，則 ( )
A. 
B.
C. 
D. 
8.
函數f
(x)的定義域為D，若對于任意
，當
時，都有
，則稱函數
在D上為非減函數 .
設函數f (x)在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：
1
； 2
； 3
.
則
等于（
）
A. 
B.
C.
1
D. 
北京市西城區 2009年抽樣測試
高三數學試卷（理科） 2009.4
第Ⅱ卷( 共110分)
二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分. 把答案填在題中橫線上 .
9.
的值等于___________.
10.
的展開式中
的系數是___________；其展開式中各項系數之和為________.(用數字作答)
11.
不等式
的解集為_____________.
12. 設O為坐標原點，向量
. 將
繞著點 
按逆時針方向旋轉 
得到向量 
, 則
的坐標為____________.
13. 給出下列四個函數：
① 
；
② 
；
③ 
；
④ 
.
其中在
上既無最大值又無最小值的函數是_________________.（寫出全部正確結論的序號）
14. 已知函數由下表給出：
0
1
2
3
4
其中
等于在
中k所出現的次數.
則=______________；
___________.
三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（本小題滿分12分）
某個高中研究性學習小組共有9名學生，其中有3名男生和6名女生. 在研究學習過程中，要進行兩次匯報活動（即開題匯報和結題匯報），每次匯報都從這9名學生中隨機選1人作為代表發言. 設每人每次被選中與否均互不影響.
（Ⅰ）求兩次匯報活動都由小組成員甲發言的概率；
（Ⅱ）設
為男生發言次數與女生發言次數之差的絕對值，求的分布列和數學期望.
16.（本小題滿分12分）
如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸正半軸上，直線AB的傾斜角為
，|OB|=2, 設
.
（Ⅰ）用
表示點B的坐標及
；
（Ⅱ）若
，求
的值.
17.（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求點B到平面PAD的距離.
18.（本小題滿分14分）
設
R，函數
.
（Ⅰ）若函數在點
處的切線方程為
，求a的值；
（Ⅱ）當a<1時，討論函數的單調性.
19.（本小題滿分14分）
已知橢圓C 
，過點M(0, 3)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B.
（Ⅰ）若l與x軸相交于點N，且A是MN的中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓上一點, 且
(O為坐標原點). 求當
時，實數
的取值范圍.
20.（本小題滿分14分）
設
，對于有窮數列(
), 令
為
中的最大值，稱數列
為的“創新數列”. 數列中不相等項的個數稱為的“創新階數”. 例如數列
的創新數列為2,2,3,7,7，創新階數為3.
考察自然數
的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列
.
（Ⅰ）若m=5, 寫出創新數列為3,4,4,5,5的所有數列；
(Ⅱ) 是否存在數列，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出所有的數列，若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）在創新階數為2的所有數列中，求它們的首項的和.
高三數學試卷（理科） 2009.4
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
C
D
A
一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.
二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.
9.
10. 10，243 11. 
12. 
13. 24 14. 
注：兩空的題目，第一個空3分，第二個空2分.
三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.
15.（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：記 “2次匯報活動都是由小組成員甲發言” 為事件A. -----------------------------1分
由題意，得事件A的概率
，
即2次匯報活動都是由小組成員甲發言的概率為
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由題意，ξ的可能取值為2,0, ----------------------------6分
每次匯報時，男生被選為代表的概率為
，女生被選為代表的概率為
.
； 
；
所以，
的分布列為：
2
0
P
---------------------------10分
的數學期望
.
---------------------------12分
16.（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：由三角函數的定義，得點B的坐標為
. ---------------------------1分
在
中，|OB|=2，
，
由正弦定理，得
，即
，
所以 
.
---------------------------5分
注：僅寫出正弦定理，得3分. 若用直線AB方程求得
也得分.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
， ------------------7分
因為
，
所以
，
----------------------------9分
又
，
---------------------------11分
所以
.
---------------------------12分
17.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）方法一：
解：由（Ⅰ）知，
又
，
平面
，
---------------------------5分
如圖，過C作
于M，連接BM，
是BM在平面PCD內的射影，
，
又
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在
中, 
, PC=1, 
，
，
又
，
，
. ---------------8分
在
中, 
, BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小為
.
---------------------------9分
方法二：
解：如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，
則
,
---------------------------5分
過C作
于M，連接BM，設
，
則
，
，
；
1
共線，
，
2
由12，解得
，
點的坐標為
，
，
，
,
，
又，
為二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
，，
，
二面角B-PD-C的大小為
.
--------------------------9分
（Ⅲ）解：設點B到平面PAD的距離為h，
，
，
平面ABCD，
，
，
在直角梯形ABCD中，
，
.
在
中，
，
，
，
，
的面積
，
---------------------------10分
三棱錐B-PAD的體積
，
，
---------------------------12分
即
，解得
，
點B到平面PAD的距離為
.
---------------------------14分
18.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：函數
的定義域為
，
---------------------------1分
.
---------------------------4分
因為
，所以
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：當
時，因為
，
所以
，故在
上是減函數； ------------------------7分
當a=0時，當
時，
，故在
上是減函數，
當
時，，故在
上是減函數，
因為函數在
上連續，
所以在上是減函數；
---------------------------9分
當0<a<1時，由
, 得x=
，或x=
. --------------------------10分
x變化時，
的變化如情況下表：
0
+
0
極小值
極大值
所以在
上為減函數、在
上為減函數；在
上為增函數.
------------------------13分
綜上，當
時，在
上是減函數；
當0<a<1時，
在
上為減函數、在
上為減函數；在
上為增函數.
------------------------14分
19.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：設A(x1, y1)，
因為A為MN的中點，且M的縱坐標為3，N的縱坐標為0，
所以
，
---------------------------1分
又因為點A(x1, y1)在橢圓C上
所以
，即
，解得
，
則點A的坐標為
或
，
-------------------------3分
所以直線l的方程為
或
. --------------------------5分
（Ⅱ）解：設直線AB的方程為
或
，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，
當AB的方程為時，
，與題意不符.
--------------------------6分
當AB的方程為時：
由題設可得A、B的坐標是方程組
的解，
消去y得
，
所以
即
，
則
，
---------------------------8分
因為 
，
所以
，解得
，
所以
.
--------------------------10分
因為
，即
，
所以當
時，由
，得
，
上述方程無解，所以此時符合條件的直線
不存在； --------------------11分
當
時，
，
，
因為點
在橢圓上，
所以
，
-------------------------12分
化簡得
，
因為，所以
，
則
.
綜上，實數
的取值范圍為
.
---------------------------14分
20.（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：由題意，創新數列為3,4,4,5,5的數列
有兩個，即：
（1）數列3，4，1，5，2； ---------------------------2分
（2）數列3，4，2，5，1. ---------------------------3分
注：寫出一個得2分，兩個寫全得3分.
（Ⅱ）答：存在數列，它的創新數列為等差數列.
解：設數列的創新數列為
，
因為
為
中的最大值.
所以
.
由題意知：
為
中最大值，
為
中最大值，
所以
，且
.
若
為等差數列，設其公差為d，則
，且
N， -----------------5分
當d=0時，為常數列，又，
所以數列為
，此時數列是首項為m的任意一個符合條件的數列；
當d=1時，因為，
所以數列為
，此時數列是； --------------------7分
當
時，因為
，
又
，所以
，
這與矛盾，所以此時不存在，即不存在使得它的創新數列為的等差數列.
綜上，當數列為：（1）首項為m的任意符合條件的數列；（2）數列時，它的創新數列為等差數列.
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