年江西省八校聯合考試
數學（文）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至4頁，共150分．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
考生注意：
1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名填寫在答題卡上．
2．第I卷每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．第II卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答．若在試題卷上作答，答案無效．
3．考試結束，監考員答題卡收回．
參考公式：
如果事件
互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么 其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么 
次獨立重復試驗中恰好發生
次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.
已知全集
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.若
,且
, 則
值為（ ）
A．
B．
C． 
D．
3.奇函數
的反函數是
，若
，則
的值是（ ）
A．0 B． 
C．
D．無法確定
4. 設
為不同的直線，
為不同的平面，有如下四個命題：
若
，則
∥
； 若
，則
；
若
，則∥
； 若
∥且
∥則
．
其中正確的命題個數是（ ）
A．
B．
C． 
D．
5. 若函數
的導函數
,則函數
的單調遞減區間是( )
A．
B．
C.
D．
6. 若
的展開式中含
的項為第項，設
則其展開式中奇次項系數的和為（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 投擲一個質地均勻的骰子兩次（骰子六個面上的數字分別為
），第一次得到的點數為
，第二次得到的點數為
，則使不等式
成立的事件發生的概率等于（ ）
A. 
B.
C.
D.
8. 已知橢圓
的離心率為
，左，右焦點分別為
，拋物線
是以
為頂點，以
為焦點，
為兩曲線的交點，若
，則的值為（ ）
A. 
B.
C.
D.
9.已知圖甲中的圖像對應的函數
，則圖乙中的圖像對應的函數在下列給出的四式中只可能是
( )
甲 乙
A．
B．
C．
D．
10. 方程
兩根為
，則
滿足關系式（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 
如圖，坐標紙上的每個單元格的邊長為1，由下往上的六個點：1，2，3，4，5，6的橫縱坐標分別對應數列
的前12項，如下表所示：
按如此規律下去，則
（ ）
A.501 B
12. 
已知如圖，
的外接圓的圓心為
,
,
則
等于（ ）
A．
B．
C． D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填答題卷中相應的橫線上．
13. 在條件
下，函數
的最小值是 ．
14.
已知等差數列
的前n項和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝
，如果存在正整數M，使得對一切正整數n，Tn≤M都成立．則M的最小值是______．
15. 已知如圖，正方體
的棱長為
，以頂點
為球心，為半徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于 _________ ．
16. 關于函數
，有下列命題：
①函數的最小正周期是
，其圖像的一個對稱中心是
；
②函數的最小值是
③函數的圖象按向量
平移后所得的函數是偶函數；
④函數在區間
上是減函數
其中所有正確命題的序號是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟
17. （本題滿分12分）已知函數
的圖象經過點A(0，1)，
B(
，1)，且當
時，
的最大值為
．(1)求的解析式；
(2)是否存在向量
，使得將的圖象按照向量平移后可以得到一個奇函數的圖象？若存在，請求出滿足條件的一個；若不存在，請說明理由．
18. （本題滿分12分）2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現有8個相同的盒子，每個盒子中放一個福娃，每種福娃的數量如下表：
福娃名稱
貝貝
晶晶
歡歡
迎迎
妮妮
數 量
2
2
2
1
1
從中隨機地選取5只．
（1）求選取的5只福娃恰好組成完整“奧運會吉祥物”的概率；
（2）求選取的5只福娃離組成完整“奧運會吉祥物”至少差兩種福娃的概率．
19. 
（本小題滿分12分）如圖，在斜三棱柱
中，平面
平面
, 
為等邊三角形，
．
（1）求證：
；
（2）求點
到平面
的距離；
（3）求二面角
的大小．
20.
（本小題滿分12分）已知各項均為正數的數列
的前項和為
，且
成等差數列.
（1）求數列
的通項公式；（2）若
，設
求數列
的前項和
.
21. 
(本小題滿分12分)如圖，已知拋物線
和直線
，點
在直線
上移動，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為
，線段
的中點為
.
（1）求點的軌跡；（2）求
的最小值；
22. （本小題滿分14分）已知函數
（1）若函數在
處取得極值，且
，求的值及的單調區間；
（2）若
，討論曲線與
的交點個數．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
A
A
D
B
C
C
B
C
B
13. 
14. 2 15. 
16. ①②③
17. 解：(1)由
得：
， 2分
即b = c = 1－a，
4分
當
時，
，
因為
，有1－a > 0，
，得a = －1
故
8分
(2)∵
是奇函數，且將
的圖象先向右平移
個單位，再向上平移1個單位，可以得到
的圖象，∴
是滿足條件的一個平移向量． 12分
18. 解：（1）由等可能事件的概率意義及概率計算公式得
； 5分
（2）設選取的5只福娃恰好距離組成完整“奧運會吉祥物”差兩種福娃記為事件B,
依題意可知，至少差兩種福娃，只能是差兩種福娃，則
11分
故選取的5只福娃距離組成完整“奧運會吉祥物”至少差兩種福娃的概率為
12分
19. 解：(1)
即
又平面
平面
………………4分
（2）
∴點
到平面
的距離即求點到平面的距離
取
中點
，連結
∵
為等邊三角形
∴
又由（1）知
又
∴點到平面的距離即點到平面的距離為
………………8分
（3）二面角
即二面角
過作
，垂足為點
,連結
由（2）及三垂線定理知
∴
為二面角的平面角
由
∽
得
…12分
解法2：(1)如圖，取
中點
，連結
∵為等邊三角形
又∵平面平面 
建立空間直角坐標系
，則有
,
即
………………4分
(2)設平面
的一個法向量為
由
得
令
得
∴點到平面的距離即求點到平面的距離
………………………………8分
(3)平面的一個法向量為
設平面
的一個法向量為
，
由
得
令
得
∴二面角的大小為
…………………………………12分
20. 解：（1）由題意知
當n=1時，
當
兩式相減得
（
）
整理得：
（） ………………………………………………（4分）
∴數列{an}是
為首項，2為公比的等比數列.
……………………………………（5分）
（2）
…………………………………………………………（6分）
……
①
…… ②
①－②得
……………(9分)
………………………(11分)
………………………………………………………(12分)
21. 解：（1）由
得
，∴
設
，則
,
∴
即
同理，有
,∴
為方程
的兩根
∴
. 設
，則
①
②
由①、②消去
得點
的軌跡方程為
. ………………………………6分
（2）
又
∴當
時，
. ………………………………12分
22. 解：（1）
………………………………………………………………………2分
令
得
令
得
∴
的單調遞增區間為
，
，單調遞減區間為
…………5分
（2）由題
得
即
令
……………………6分
令
得
或
……………………………………………7分
當
即
時
－
此時，
，，有一個交點；…………………………9分
當
即
時，
＋
―
,
∴當即
時,有一個交點；
當
即
時，有兩個交點；
當
時，
，有一個交點．………………………13分
綜上可知，當
或時，有一個交點；
當時，有兩個交點．…………………………………14分
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