2009屆高考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí)精編模擬六
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨(dú)立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是
，那么
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生
次的概率
其中表示球的半徑
第一部分 選擇題（共50分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1、復(fù)數(shù)-i的一個(gè)立方根是i，它的另外兩個(gè)立方根是…………………………（ ）
A）
±
B）-± C）±+ D）±-
2、不等式組
的解集為 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B
C．
D．
3、
的三邊
滿(mǎn)足等式
，則此三角形必是（）
A、以
為斜邊的直角三角形 B、以
為斜邊的直角三角形
C、等邊三角形 D、其它三角形
4、若函數(shù)
，滿(mǎn)足對(duì)任意的
、
，當(dāng)
時(shí)，
，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A、
B、
C、
D、
5、設(shè)
、
是方程
的兩根，且
，則
的值為： （ ）
A、
B、
C、
D、
6、過(guò)曲線(xiàn)
上一點(diǎn)
的切線(xiàn)方程為（ ）
A、
B、
C、
D、
7、如圖，在多面體ABCDFE中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF∥AB，EF=
，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為： （ ）
A、
B、
8、如果n是正偶數(shù)，則C
＋C
＋…＋C
＋C
＝（
）
（A） 2
（B） 2
（C） 2
（D） (n－1)2
9、等比的正數(shù)數(shù)列{
}中，若
，則
=（ ）
(A) 12, (B) 10, (C) 8, (D)2+
10、雙曲線(xiàn)b2x2－a2y2=a2b2
(a>b>0)的漸近線(xiàn)夾角為α，離心率為e,則cos
等于（ ）
A．e B．e
D．
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分．每小題5分，滿(mǎn)分20分．
11、已知函數(shù)
，那么
+
。
12、如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形及其內(nèi)切圓，若隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落入圓內(nèi)的概率是________．
13、過(guò)拋物線(xiàn)
的焦點(diǎn)F作一直線(xiàn)交拋物線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，若線(xiàn)段PF、FQ的長(zhǎng)分別為p、q，則
。
14、(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在直角坐標(biāo)系中圓
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），則圓的普通方程為_(kāi)_________，以原點(diǎn)
為極點(diǎn)，以
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓的圓心極坐標(biāo)為_(kāi)________．
15．(幾何證明選講選做題) 如圖，
是
的切線(xiàn)，切點(diǎn)為
，直線(xiàn)
與交于
、
兩點(diǎn)，
的平分線(xiàn)分別交直線(xiàn)
、
于
、
兩點(diǎn)，已知
，
，則
，
．
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
16．（本小題滿(mǎn)分12分）
記函數(shù)
，
,它們定義域的交集為
,若對(duì)任意的
,
，則稱(chēng)
是集合
的元素.
（1）判斷函數(shù)
是否是的元素；
（2）設(shè)函數(shù)
，求的反函數(shù)
，并判斷是否是的元素；
17．（本小題滿(mǎn)分12分）
已知拋物線(xiàn)
與直線(xiàn)
相切于點(diǎn)
．
（Ⅰ）求
的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)任意
，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
18．（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖組合體中，三棱柱
的側(cè)面
是圓柱的軸截面，是圓柱底面圓周上不與
、
重合一個(gè)點(diǎn).
（Ⅰ）求證：無(wú)論點(diǎn)如何運(yùn)動(dòng)，平面
平面
；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)是弧
的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐
與圓柱的體積比．
19．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知數(shù)列
滿(mǎn)足：
且對(duì)任意的
有
.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列
，使得對(duì)任意的
有
成立？證明你的結(jié)論
20．（本小題滿(mǎn)分14分）
如圖，在直角坐標(biāo)系
中，已知橢圓
的離心率e＝
，左右兩個(gè)焦分別為
．過(guò)右焦點(diǎn)
且與
軸垂直的
直線(xiàn)與橢圓
相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=1．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A,下頂點(diǎn)為B，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足
，
（
）試求點(diǎn)P的軌跡方程，使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在橢圓上. 
21．（本小題滿(mǎn)分14分）
已知二次函數(shù)
.
（1）若
，試判斷函數(shù)
零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若對(duì)
且
，
，試證明
，使
成立。
(3)是否存在
，使同時(shí)滿(mǎn)足以下條件①對(duì)
，且
；②對(duì)
,都有
。若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
一．選擇題：DCDDA DDBBC
解析：1：復(fù)數(shù)i的一個(gè)輻角為900，利用立方根的幾何意義知，另兩個(gè)立方根的輻角分別是900+1200與900+2400，即2100與3300，故虛部都小于0，答案為（D）。
2：把x=3代入不等式組驗(yàn)算得x=3是不等式組的解，則排除(A)、(B), 再把x=2代入不等式組驗(yàn)算得x=2是不等式組的解，則排除(D)，所以選(C).
3：在題設(shè)條件中的等式是關(guān)于
與
的對(duì)稱(chēng)式，因此選項(xiàng)在A(yíng)、B為等價(jià)命題都被淘汰，若選項(xiàng)C正確，則有
，即
，從而C被淘汰，故選D。
4：“對(duì)任意的x1、x2，當(dāng)
時(shí)，
”實(shí)質(zhì)上就是“函數(shù)單調(diào)遞減”的“偽裝”，同時(shí)還隱含了“
有意義”。事實(shí)上由于
在
時(shí)遞減，從而
由此得a的取值范圍為
。故選D。
5：由韋達(dá)定理知
.從而
，故
故選A。
6：當(dāng)點(diǎn)A為切點(diǎn)時(shí)，所求的切線(xiàn)方程為
，當(dāng)A點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，所求的切線(xiàn)方程為
故選D。
7：由已知條件可知，EF∥平面ABCD，則F到平面ABCD的距離為2， ∴VF－ABCD＝
?32?2＝6，而該多面體的體積必大于6，故選（D）.
8：由二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)有C
＋C
＋…＋C
＋C
＝2
，選B.
9：取特殊數(shù)列
=3，則
=
=10，選(B).
10：本題是考查雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)夾角與離心率的一個(gè)關(guān)系式，故可用特殊方程來(lái)考察。取雙曲線(xiàn)方程為
－
=1，易得離心率e=
,cos
=
，故選C。
二．填空題：11、
； 12、
；13、
；14、
，
；15、
，
；
解析：11：因?yàn)?sub>
（定值），于是
，
，
，又
， 故原式=。
12：因?yàn)檎叫蔚拿娣e是16，內(nèi)切圓的面積是
，所以豆子落入圓內(nèi)的概率是
．
13：設(shè)k = 0，因拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為
把直線(xiàn)方程
代入拋物線(xiàn)方程得
，∴
，從而
。
14.（略）
15.（略）
三．解答題：
16．解：（1）∵對(duì)任意
，
，∴
--2分
∵
不恒等于
，∴
--------------------------4分
（2）設(shè)
①
時(shí)，由
解得：
由 解得其反函數(shù)為 ，
-----------------7分
②
時(shí)，由 解得：
解得函數(shù)的反函數(shù)為，
--------------------9分
∵
∴
------------------------------------------------------------------12分
１7．解：（Ⅰ）依題意，有
，
．
因此，
的解析式為
； …………………6分
（Ⅱ）由
（
）得
（），解之得
（）
由此可得
且
，
所以實(shí)數(shù)
的取值范圍是
． …………………12分
18.（I）因?yàn)閭?cè)面
是圓柱的的軸截面，
是圓柱底面圓周上不與、
重合一個(gè)點(diǎn)，所以
…………………2分
又圓柱母線(xiàn)
^平面
，
Ì平面，所以^，
又
，所以^平面
，
因?yàn)?sub>Ì平面
，所以平面
平面；…………………………………6分
（II）設(shè)圓柱的底面半徑為
，母線(xiàn)長(zhǎng)度為
，
當(dāng)點(diǎn)是弧
的中點(diǎn)時(shí)，三角形的面積為
，
三棱柱
的體積為
，三棱錐
的體積為
，
四棱錐
的體積為
，………………………………………10分
圓柱的體積為
，
………………………………………………12分
四棱錐與圓柱的體積比為
.……………………………………………14分
19.(Ⅰ)解：∵
∴
∴數(shù)列
是首項(xiàng)為（
），公比為2的等比數(shù)列，………………4分
，
，∴數(shù)列
是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
，∴
…
…………………7分
（Ⅱ）令
代入
得：
解得:
由此可猜想
，即
…………………10分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，等式左邊＝1，右邊＝
,
當(dāng)n＝1時(shí)，等式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即
當(dāng)n＝k＋1時(shí)
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立，
綜上所述，存在等差數(shù)列，使得對(duì)任意的
有成立。
…………………14分
20.解：(Ⅰ)∵
軸，∴
,由橢圓的定義得：
， ……………2分
∵
，∴
，
又
得
∴
………………4分
∴
，∴所求橢圓C的方程為
． …………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B為（0，－1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
則
，
, 由
－4得－
，
∴點(diǎn)P的軌跡方程為
…………………8分
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
，則由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：
，
解得：
，…………………10分
∵點(diǎn)在橢圓上，
∴ 
，
整理得
解得
或 
…………………12分
∴點(diǎn)P的軌跡方程為
或
，經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，
∴滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或．…………………14分
21.解（1） 
…………………1分
，
當(dāng)
時(shí)
，函數(shù)
有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)
時(shí)，
，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。…………………3分
（2）令
，則
，…………………5分
在
內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根。即
，使
成立。…………………8分
（3）
假設(shè)
存在，由①知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1，且
∴
………………10分
由②知對(duì)
,都有
令
得
由
得
， …………………12分
當(dāng)時(shí)，
，其頂點(diǎn)為（－1，0）滿(mǎn)足條件①，又
對(duì),都有，滿(mǎn)足條件②。
∴存在
，使同時(shí)滿(mǎn)足條件①、②。 …………………14分
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