北京市豐臺區2009年高三統一練習（一）
數 學（理科） 2009年3月
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷 （選擇題 共40分）
注意事項：
1. 答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。
2. 每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。在每個小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1. 在復平面內，復數
所對應的點位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
2. 已知全集
，集合
，集合
，那么集合
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
3. 已知直線
平面α ，直線
平面α ，“直線c⊥，直線c⊥”是“直線c⊥平面α”的
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
4. 以雙曲線
的一個焦點為圓心，離心率為半徑的圓的方程是
（A）
(B) 
(C) 
(D) 
5. 已知函數
的圖像與函數
的圖像關于直線
對稱，那么下列情形不可能出現的是
（A）函數有最小值
（B）函數過點（4，2）
（C）函數是偶函數
（D）函數在其定義域上是增函數
6. 在平面直角坐標系
中作矩形
,已知
,則?的值為
（A）0 （B）7
（C）25
（D）
7. 北京奧運會乒球男團比賽規則如下：每隊3名隊員，兩隊之間共需進行五場比賽，其中一場雙打，四場單打，每名隊員都需比賽兩場（雙打需兩名隊員同時上場比賽），要求雙打比賽必須在第三場進行，若打滿五場，則三名隊員不同的出賽順序安排共有
（A）144 （B）72
（C）36 （D）18
8. 已知
，
都是定義在
上的函數，且滿足以下條件：①=
?（
）；②
；③
。若
，則使
成立的x的取值范圍是
（A）（
，
）∪（
，+∞ ）
（B）（，）
（C）（－∞，）∪（，+∞ ）
（D）（，+∞ ）
豐臺區2008年高三統一練習（一）
數 學 （理科）
第Ⅱ卷 （非選擇題 共110分）
注意事項：
1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2. 答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題 號
二
三
總 分
15
16
17
18
19
20
分 數
得 分
評卷人
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分。把答案填寫在題中橫線上。
9. 若
展開式的二項式系數之和等于64，則第三項是
。
10. 設等比數列
的前項和為
，若
，則
= 。
11. 在長方體
中，
，若點
到
這四點的距離相等，則
＝
。
12. 在平面直角坐標系中,已知△
頂點
，頂點
在橢圓
上，則
＝
。
13. 已知函數
，則它們的圖像經過平移后能夠重合的是函數 與函數 。（注：填上你認為正確的兩個函數即可，不必考慮所有可能的情形）
14. 對于函數，我們把使
的實數x叫做函數的零點。函數
的零點是 ；若函數和均是定義在上的連續函數，且部分函數值分別由下表給出：
X
1
2
3
4
X
1
2
3
4
3
5
2
－1
4
2
1
3
則當x= 時，函數
在區間
上必有零點。
得 分
評卷人
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15. （本小題共13分）
已知函數
（Ⅰ）求函數的定義域；
（Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
得 分
評卷人
16. （本小題共13分）
已知數列中，
，且當
時，函數
取得極值。
（Ⅰ）求數列
的通項；
（Ⅱ）在數列
中，
，
，求
的值
得 分
評卷人
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）證明
；
(Ⅲ)
求二面角
的大小.
得 分
評卷人
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《坐標系與參數方程》兩個模塊的選修科目。每名學生可以選擇參加一門選修，參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學生參加過《幾何證明選講》的選修，有75%的學生參加過《坐標系與參數方程》的選修，假設每個人對選修科目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選一名學生，求該生參加過模塊選修的概率；
(Ⅱ)任選3名學生，記
為3人中參加過模塊選修的人數，求的分布列和期望。
得 分
評卷人
19. （本小題共13分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。
(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；
(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
得 分
評卷人
20. （本小題共14分）
函數是定義在R上的偶函數，且
時，
，記函數的圖像在
處的切線為
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 點列
在上，
依次為x軸上的點，如圖，當
時，點
構成以
為底邊的等腰三角形。若
，求數列
的通項公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下，是否存在實數a使得數
列是等差數列？如果存在，寫出
的一
個值；如果不存在，請說明理由。
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分。
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
B
二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分
9．60
10. 4 11. 
12. 2 13.
與
或 
與
14. -2；1
三、解答題： 本大題共6個小題，共80分。
15. （本小題共13分）已知函數
（Ⅰ）求函數
的定義域； （Ⅱ）求函數在區間
上的最值。
解：（Ⅰ）由題意 
所求定義域為 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以當
時，取得最大值為
；
…………11分
當
時，取得最小值為0 。
…………13分
16.（本小題共13分）已知數列
中，
，當
時，函數
取得極值。（Ⅰ）求數列
的通項；（Ⅱ）在數列
中，
，
，求
的值
解：（Ⅰ） 
由題意
得 
， …………6分
又
所以 數列是公比為
的等比數列 所以 
…………8分
（Ⅱ）
因為 
，
…………10分
所以 
，
，
，……，
疊加得 
把代入得 =
…………13分
17. （本小題共14分）
如圖，在正三棱柱
中，
,
是
的中點，點
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）證明
；(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC邊的中點，
，
∠
為所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）證明: 依題意得 
，
，
因為
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 過C作
于
，作
于
，連接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小為
…………14分
18. （本小題共13分）
某校高二年級開設《幾何證明選講》及《坐標系與參數方程》兩個模塊的選修科目。每名學生可以選擇參加一門選修，參加兩門選修或不參加選修。已知有60%的學生參加過《幾何證明選講》的選修，有75%的學生參加過《坐標系與參數方程》的選修，假設每個人對選修科目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響。
(Ⅰ)任選一名學生，求該生參加過模塊選修的概率；
(Ⅱ)任選3名學生，記
為3人中參加過模塊選修的人數，求的分布列和期望。
解：(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A，
參加過《坐標系與參數方程》的選修為事件B， 該生參加過模塊選修的概率為P，
則
則 該生參加過模塊選修的概率為0.9 …………6分
（另：
）
(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3
=0.001，
=0.027
=0.243， 
=0.729
…………10分
0
1
2
3
0.001
0.027
0.243
0.729
的分布列為
…………13分
19. （本小題共13分）
已知
分別為橢圓
的左、右焦點，直線
過點
且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于直線，垂足為
，線段
的垂直平分線交
于點M。(Ⅰ)求動點M的軌跡
的方程；(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q，設＝
，若∈[2，3]，求
的取值范圍。
解：(Ⅰ)設M
，則
，由中垂線的性質知
|
|=
化簡得的方程為
…………3分
（另：由知曲線是以x軸為對稱軸，以
為焦點，以為準線的拋物線
所以 
，
則動點M的軌跡的方程為）
(Ⅱ)設
，由＝ 知 
①
又由在曲線上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
設
有
在區間
上是增函數，
得
，進而有 
，所以的取值范圍是
……13分
20. （本小題共14分）
函 數 
是 定 義 在R上 的 偶 函 數，且
時，
，記函數的圖像在
處的切線為
，
。
(Ⅰ) 求在
上的解析式；
(Ⅱ) 點列
在
上，
依次為x軸上的點，
如圖，當
時，點
構成以
為底邊
的等腰三角形。若
，求數列
的通項公式；
(Ⅲ)在 (Ⅱ)的條件下，是否存在實數a使得數列是等差數列？如果存在，寫出
的一個值；如果不存在，請說明理由。
解：(Ⅰ) 函數是定義在R上的偶函數，且
；是周期為2的函數
…………1分
由 可知
=-4 
，
…………4分
(Ⅱ) 函數的圖像在處的切線為，且，
切線過點
且斜率為1，切線的方程為y=x+1
…………6分
在上，有 
即
點構成以為底邊的等腰三角形
… ①
同理
… ② 兩式相減 得 
…………11分
(Ⅲ) 假設是等差數列 ，則
…………14分
故存在實數a使得數列是等差數列。
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