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專題13 三角 平面向量 復數

一 能力培養

1,數形結合思想       2,換元法       3,配方法       4,運算能力      5,反思能力

二 問題探討

問題1設向量,,

求證:.

問題2設,其中向量,,

(I)若且,求;       (II)若函數的圖象

按向量平移后得到函數的圖象,求實數的值.

問題3(1)當,函數的最大值是        ,最小值是         .

      (2)函數的最大值是                 .

      (3)當函數取得最小值時,的集合是          .

      (4)函數的值域是                        .

問題4已知中,分別是角的對邊,且,=

,求角A.

三 習題探討

選擇題

1在復平面內,復數對應的向量為,復數對應的向量為,

那么向量對應的復數是

A,1              B,             C,            D,

2已知是第二象限角,其終邊上一點P(),且,則=

A,          B,             C,            D,

3函數圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是

A,            B,              C,              D,

4已知向量,向量,向量,則向量

與向量的夾角的取值范圍是

A,         B,          C,        D,

5已知,,且與的夾角為鈍角,則的取值范圍是

A,        B,           C,         D,

6若是三角形的最小內角,則函數的值域是

A,       B,          C,        D,

填空題

7已知,則=           .

8復數,,則在復平面內的對應點位于第     象限.

9若,則=           .

10與向量和的夾角相等,且長度為的向量               .

11在復數集C內,方程的解為                     .

解答題

12若,求函數的最小值,并求相應的的值.

13設函數,,若當時,

恒成立,求實數的取值范圍.

14設,且,復數滿足,求的最大值與最小值勤.

15已知向量,,且

(I)求及;         (II)求函數的最小值.

16設平面向量,.若存在實數和角,

使向量,,且.

(I)求函數的關系式;  (II)令,求函數的極值.

問題1證明:由,且

得=   ①

在①中以代換得=.

即.

溫馨提示:向量是一種很好用的工具.運用好它,可簡捷地解決一些三角,平幾,立幾,解幾等問題.

問題2解:(I)可得

由=1,得

又,得,有=,解得.

(II)函數的圖象按向量平移后得到函數,

即的圖象.也就是=的圖象.

而,有,.

問題3解:(1)

而,有,

當,即時,;當,即時,.

(2),令,則,有

,得

令,有,

①當時,,為增函數;②當時,,為減函數.

=,而,

于是的最大值是.

(3)

當,即時,.

(4)可得,有

得,有,

得,又,于是有的值域是.

問題4解:由已知得,即,又

得,.

又得由余弦定理.

得,.

由正弦定理得,有.

又,得為最大角.

又,有,于是.

所以得.

習題:1得,,選D.

2 ,又,得或(舍去),

有,,選A.

3它的對稱軸為:,即,有,選A.

4(數形結合)由,知點A在以

(2,2)為圓心,為半徑的圓周上(如圖),過原點O作

圓C的切線,為切點,由,

知,有,

過點O作另一切線,為切點,則,選D.

5由,,設與的夾角為,則,

有,即,得,有,選A.

6由,令而,得.

又,得,

得,有,選D.

7顯然且,有,

當時,,有,于是,得,則

得到,

當時,同理可得.

8 ,它對應的點位于第一象限.

9由,得,有,即.

則,原式=.

10設,則,.

設與,的夾角分別為,則,

由,得=①;由=,得.②

由①,②得, ,,于是或

11設,,代入原方程整理得

有,解得或,所以或.

12解:

令,得

由,得,有,.

于是當,即,得時,.

13解:由,知是奇函數,

而

得在R上為增函數,則有

,令有

,恒成立.①

將①轉化為:,

(1)當時,;

(2)當時,,由函數在上遞減,知

當時,,于是得.

綜(1),(2)所述,知.

14解:設,由得,

得

由,得,從而,

設在復平面上的對應點分別為,由條件知W為

復平面單位圓上的點,的幾何意義為單位圓上的點W到點Z的距離,所以

的最小值為;最大值為.

15解(I),

,得

().

(II)

當且僅當時,.

16解:(I)由,,得

=,即,得

.

(II)由,得

求導得,令,得,

當,,為增函數;當時,,為減函數;

當時,,為增函數.

所以當,即時,有極大值;當,即時,有極小

值.