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數學20分鐘專題突破27

函數與方程的思想

一.選擇題

1.若函數分別是上的奇函數、偶函數，且滿足，則有（    ）

A．          B．

C．          D．

2.于x的方程的兩根滿足，則k的取值范圍是（     ）

    A．        B．        C．           D．

3.，動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設，，則函數的圖象大致是（    ）

二.填空題

1.設，若僅有一個常數c使得對于任意的，都有滿足方程，這時，的取值的集合為                  。

2.，若關于的方程有實根，則的取值范圍是       ．

3.當時，不等式恒成立，則的取值范圍是         

三.解答題

3.、分別是橢圓的左、右焦點.

（Ⅰ）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）設過定點，的直線與橢圓交于兩不同的點、，且為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

答案：

一.擇題題

1. 解：因為，用替換得： 因為函數分別是上的奇函數、偶函數，所以，又

解得：，而單調遞增且，∴大于等于0，而，故選。

2. 解：設函數，∵關于x的方程的兩根滿足，∴即∴，故選擇。

3. 解：設正方體的棱長為，由圖形的對稱性知點始終是的中點，

而且隨著點從點向的中點滑動，值逐漸增大到最大，再由中

點向點滑動，而逐漸變小，排除，把向平面內正投

影得，則=，由于，

∴，所以當時，為一次函數，故選

二.填空題

1. 解：由已知，得（其中），函數為反比例函數，在（）上為單調遞減，所以當時，又因為對于任意的，都有，所以，因為有且只有一個常數符合題意，所以，解得，所以的取值的集合為。

2. 解：方程即,利用絕對值的幾何意義,得，可得實數的取值范圍為

3. 解：構造函數：．由于當時，不等式恒成立，等價于在區間上函數的圖象位于軸下方，由于函數的圖象是開口向上的拋物線，故只需即，解得．

．

三.解答題

解：（Ⅰ）解法一：由橢圓方程知

所以　，設

則

又   ∴   

，故當，即點為橢圓短軸端點時，有最小值     

當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值．

解法二：易知，所以，設

則

（以下同解法一）

（Ⅱ）顯然當直線的斜率不存在即時，不滿足題設條件

可設的方程為，設，

聯立     得   

即  　               

∴　，

由

即     解得  　　   ①      

又為銳角

∴ 

∴ 

∴ 

∴　　　                  ②          

綜①、②可知　

∴　的取值范圍是．