和平區2009屆高三第一次質量調查
數學（文）學科試卷
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至10頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考號、科目涂寫在答題卡上。
2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再造涂其他答案標號。答在試卷上無效。
3．本卷共10小題，每小題5分，共50分。
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
(1)復數
等于
(A)
(B)0
(C)
(D)1
(2)設變量
滿足約束條件
，則目標函數
的最小值為
(A)7 (B)4
(C)
(D)
(3)設集合
，則
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)在等比數列
中，
，則
等于
(A)90 (B)30
(C)70 (D)40
(5)若圓
與直線
相切，則
的值等于
(A)5 (B)
(C)5或 (D)
或
(6)已知
表示一個平面，
表示一條直線，則平面內至少有一條直線與
(A)平行 (B)相交
(C)異面 (D)垂直
(7)已知函數
的最小正周期為2
，則該函數的圖象
(A)關于直線
對稱 (B)關于點(
)對稱
(C)關于直線
對稱 (D)關于點(
)對稱
(8)在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于
的概率是
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)如圖，過拋物線
的焦點F作直線交拋物線于
、
，若
，那么
等于
(A)8 (B)7
(C)6 (D)4
(10)若
，則
的大小關系是
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
2．用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。
3．本卷共12小題，共100分。
題號
二
三
總分
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
得分
二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分．把答案填在題中橫線上．
(11)對總數為
的一批零件進行檢驗，現抽取一個容量為45的樣本，若每個零件被抽取的可能性為25%，則零件的總數等于
．
(12)在如右圖所示的程序框圖中，當程序被執行后，輸出
的結果是
．
(13)化簡
．
(14)已知向量
，若向量
平行，則實數
等于 ．
(15)如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，若CD=4，BD=8，用圓O的半徑等于 ．
(16)設
，則
的最大值等于 .
(17)(本小題滿分12分)
三、解答題：本大題共6小題，共76分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
在△ABC中，
，
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）設
，求
．
(18)(本小題滿分12分)
下表為某班英語及數學成績公布，全班共有學生50人，成績分為1~5五個檔次，設分別表示英語成績和數學成績，例如表中英語成績為5分的共6人，數學成績為3分的共15人．
(Ⅰ)
的概率是多少?且
的概率是多少?
的概率是多少?
在的基礎上，同時成立的概率是多少?
(Ⅱ)
的概率是多少?
的值是多少?
5
4
3
2
1
5
1
3
1
0
1
4
1
0
7
5
1
3
2
1
0
9
3
2
1
6
0
1
0
0
1
1
3
(19)(本小題滿分12分)
如圖，在直三棱柱
中，
(Ⅰ)求證：
；
(Ⅱ)若D是AB的中點，求證：
∥平面
．
(20)(本小題滿分12分)
已知等差數列的前三項為
記前項和為
(Ⅰ)設
，求和
的值；
(Ⅱ)設
，求
的值．
(21)(本小題滿分14分)
設A、B分別為橢圓
的左、右頂點，(
)為橢圓上一點，橢圓的長半軸的長等于焦距．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設
，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，
求證：
為鈍角．
(22)(本小題滿分14分)
已知函數
(Ⅰ)求
的值域；
(Ⅱ)設
，函數
．若對任意
，總存在
，使
，求實數的取值范圍．
一、選擇題(每小題5分，共50分)
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．D
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．180 12．60 13．
14．2 15．5 16．
三、解答題(本大題共6小題，共76分)
17．(本題12分)
解：（Ⅰ）
………………………………（2分）
…………（4分）
…………………………………(6分)
(Ⅱ)
． ……………(8分)
由已知條件
根據正弦定理，得
…………………（10分）
……………………（12分）
18．（本題12分）
解：（Ⅰ）
……………………（2分）
……………………（4分）
……………………（6分）
當
時，有
(人)．
在的基礎上，
有
(人)，
……………………（8分）
(Ⅱ)
…………（10分）
…………………………………（12分）
19．(本題12分)
證明：(Ⅰ)
在△
中，
…………………………（2分）
平面
．
…………………………（4分）
平面
…………………………（6分）
(Ⅱ)連接
交
于M，則M為的中點 …………………………（8分）
連接DM，則
∥
，
…………………………（10分）
平面
，
平面，
∥平面
…………………………（12分）
20．（本題12分）
解：(Ⅰ)由已知得
，又
，
即
． …………………………（2分）
，公差
．
由
，得 …………………………（4分）
即
．解得
或
(舍去)．
．
…………………………（6分）
(Ⅱ)由
得
…………………………（8分）
…………………………（9分）
是等差數列．
則
………………………(11分)
……………………(12分)
21．(本題14分)
解：(Ⅰ)依題意得
．
………………………（2分）
把（1，3）代入．
解得
．
橢圓的方程為
．
………………………（4分）
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
，設
，如圖所示
點在橢圓上，
． ①
點異于頂點
、
，
．
由
、、三點共線，可得
從而
…………………………（7分）
② …………（8分）
將①式代入②式化簡得
…………（10分）
…………（12分）
于是
為銳角，
為鈍角． ……………(14分)
22．(本題14分)
解：（Ⅰ）
，
令
，得
或
．
………………（2分）
當
時，
在
上單調遞增；
當
時，
在
上單調遞減，
而
，
當
時，
的值域是
． ……………（4分）(Ⅱ)設函數
在
上的值域是A，
若對任意
．總存在
1,使
，
．
……………（6分）
．
①當
時，
，
函數在
上單調遞減．
，
當時，不滿足
； ……………………(8分)
②當
時，
，
令
，得
或
(舍去 ………………(9分)
（i）
時，
的變化如下表：
0
2
-
0
+
0
．
，解得
． …………………(11分)
(ii)當
時，
函數在上單調遞減．
，當時，不滿足．
…………………(13分)
綜上可知，實數
的取值范圍是
． ……………………（14分）
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