高三數學第考輪專題復習系列(4)--（理）三角函數與復數
一、大綱解讀
復數部分：⑴加強數學思想方法的訓練：轉化思想、分類討論思想、數形結合思想、整體思想；⑵突破關鍵知識：①理解復數、實數、虛數、共軛復數的概念和復數的幾何表示；②熟練應用復數相等的條件；③掌握復數的運算法則，及復數加減法的幾何意義及應用；④復數問題實數化方法
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
高考對復數的考查難度較低，希望同學們復習時熟練掌握基礎知識，復習有的放矢，策略得當，準確求解，保證與此有關的考高題目不丟分
復數部分是高考必考內容之一，主要考查復數的有關概念和運算．復數在高考中題型多為選擇題和填空題，均為容易題.估計2009年高考對這部分的考查不會有大的改變.復數部分仍然會重點考查有關概念的復數基本運算，問題難度相當，均為容易題.
三、重點剖析
1.復數有關概念：實數、虛數、純虛數、虛部、實部、共軛復數、復數相等等概念的理解、正確應用及復數的加減乘除四則運算法則的理解和正確應用
⑴復數
．
⑵復數相等：
．
⑶共軛復數：
與
互為共軛復數．注意：①
，
為純虛數或零；②
；③
是純虛數
且
．
例1⑴（08年高考廣東卷理2）設
，且
為正實數，則
．
⑵（08年高考湖北卷理11）設
是復數，
，（其中
表示復數的共扼復數），已知
的實部是
，則
的虛部為 ．
分析：⑴求出復數的實虛部，利用復數的虛部為零，實部大于零求解即可；⑵將和都寫成的形式，利用復數相等列方程組求解．
解：⑴
．
⑵設
，由得：
．
評注：注意掌握復數有關概念的典型特征和兩個復數相等的充要條件．
易錯指導：用概念解題要抓住概念的本質列式，計算時注意正確使用復數的運算法則.
2.復數的模的定義及求解方法、復數幾何意義（點的表示和向量表示）、及其相關的運算
⑴復數的模：
．
⑵幾何意義：復數
可用點
或用
表示．
例2 已知
（
，
為虛數單位）．
的對應點為
,
為原點，則
．
分析：根據復數模的定義求出
，再用三角函數定義求解即可．
解：
，因為所以
．則
，
．
根據三角函數定義知：
．
評注：注意熟練記憶復數的模的公式，注意復數與三角的結合問題的求解．
易錯指導：復數的模常常和點、向量相結合考查，注意交匯知識的正確應用，注意向量的兩種幾何表示：⑴點表示：弄清各象限點的坐標的符號；⑵向量表示：注意復數與平面向量交匯，弄清平面向量的基本運算法則.
以上是對本專題重點內容的分，希望同學們針對以上幾方面，復習時抓住重點，提高解題準確性，提升解決問題的能力，減少失誤的發生．
四、規律總結
1．復數中常見的重要結論
：
①
；②
；
③
，
；
④
，
；
⑤設
，則
，
；
，
．
2．共軛復數的運算性質：
．
3．復數中的解題方法和策略：
⑴證明復數是實數的策略：①
②
③
．
⑵證明復數是純虛數的策略：①
為純虛數
；②
為純虛數；③是純虛數且．
⑶復數方程求解策略：①利用求根公式；②利用韋達定理；③利用復數相等的定義求解．
⑷復數模的求解策略：①利用定義求復數的模；②利用幾何意義求復數的模；③利用復數對應的向量關系求復數的模；④利用方程思想求解復數的模．
⑸解決復數問題基本策略：①復數相等策略；②分母實數化策略；③利用幾何意義轉化為點或向量策略；④借助于特殊結論求解策略．
五、能力突破
2.復數與三角函數的交匯
例２已知復數
，則
的最大值為
.
本題簡介：主要考查復數的乘法運算、復數模的求解、三角公式和三角函數有界性的熟練應用.
分析：把表示出來，然后利用三角函數的有界性求最大值.
解：∵
， ∴
的最大值為
.
反思：本題以復數為切入點，重點考查了復數的模的計算方法、三角函數有關公式、最值的求解、均值不等式等內容，涉及的知識較多，基礎性較強，所以求解此類問題的關鍵是熟練掌握所學基礎知識．
5.復數和邏輯知識的交匯
例5 
則
是
的（ ）
A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
本題簡介：本題主要考查復數相等的充要條件，考查充要、充分不必要、必要不充分等等條件的判斷方法.
分析：先求出的充要條件，再判定與充要條件的關系.
解：由
解得
或，所以是的充分條件.選A.
反思：判斷（或）求充分條件或必要條件時，一般都需先求出充要條件，再利用條件對應集合之間的包含關系，來確定所給條件是什么條件.
六、高考風向標
考查方向一：考查復數中的有關概念，包括復數中的實數、虛數、純虛數、實部、虛部、復數相等、復數的模等定義及其應用等
例１（08年高考福建卷理1）若復數
是純虛數，則實數a的值為（ ）
A．1 B．
分析：直接按純虛數滿足的條件列式求解即可．
解：因為是純虛數且，所以
，
解得
，所以選Ｂ．
感悟：注意純虛數的虛部不等于零，這是解題易錯點．對復數的有關概念：實數、純虛數、虛數、共軛復數、復數相等這些概念的考查一直是高考對復數考查的重點之一，只要熟練掌握這些概念的本質特征，準確列式，此類問題便可迎刃而解．
考查方向二：考查復數有關運算
例２（08年高考海南寧夏卷文3）已知復數
，則
（ ）
A．2 B．－2 C．
D．
－2i
分析：本題就是很簡單的復數運算問題，直接按運算法則求解即可．
解：將代入得
，選Ａ．
感悟：簡單的復數運算仍然是高考對復數考查的重點之一，但要求不高，屬于必須得分的題目，只要注意熟練掌握復數的加減、乘除及乘方運算，注意運算的正確性．
七、實戰演練
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的（本大題共12小題，每小題5分，共60分）
1．復數
，為虛數單位，若
，則復數
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．用“更相減損術”計算得
和
的最大公約數為（ ）
A．20 B．40 C．5 D．10
3．已知
是實數，則實數
（ ）
A．
B．
C．
D．
４．（08廣東5月模擬）運行如圖的算法流程圖，當輸出
的值為８時，輸入
的值為（ ）.
A．２
B． C．３ D．
５．設為虛數單位，復數
為純虛數，且
為第四象限角，
（ ）
A．
B. 
C. 
D. 
６．給出以下算法：
；
；
；
如果
；執行
；否則執行
；
輸出
；
結束.
則算法完成后，輸出的的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
７．若復數z滿足對應關系
，則
（ ）
A．
B．2 C．
D．0
8．（浙江衡州08高三4月質檢）如右圖，輸入
，輸出的是（ ）
A．2005 B．65 C．64 D．63
9．當
時，復數
在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．某工程的工序流程圖如圖（工時單位：天）.現已知工程總時數為10天，則工序c所需工時為（ ）天．
A．6 B．4 C．7 D．5
11．在如下程序框圖中，已知：
，則輸出的結果是（ ）
◎
A．
B．
C．
D．
12．（成都08第二次診斷（理）改編）設復數
在復平面內的對應點為Z，若
（O為復平面原點），則
取得最小值時，（ ）
A．１ B． C．
D．
第II卷
二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）
13．右圖是計算
的程序框圖，判斷框應填的內容是________________,處理框應填的內容是__________________.
14．中學生小剛早上起床后要做以下事情：洗臉刷牙（5分鐘）、燒水（8分鐘）、泡面（3分鐘）、吃飯（10分鐘）、上網查今天語文課要用到的一個資料（5分鐘）.則他做完這些事情用的最短時間為 ．
15．若關于
的方程
有實數根
，則
的共軛復數為 ．
16．如下圖是成品加工流程圖，從圖中可以看出，一件成品必須經過的工序次數是____．
三．解答題：本大題共6小題，共74分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分12分）
在復平面上，設點A、B、C ，對應的復數分別為
．過A、B、C 做平行四邊形ABCD．求：⑴
對應的復數
；⑵若
，求
的最大值．
18．（本小題滿分１２分）
某“兒童之家”開展親子活動，計劃活動按以下步驟進行：首先，兒童與家長按事先約定的時間來到“兒童之家”．然后，一部分工作人員接待兒童，做活動前的準備；同時，另一部分工作人員接待家長，交流兒童本周的表現。第三步，按照親子活動方案進行活動．第四步，啟導員填寫親子活動總結記錄；同時，家長填寫親子活動反饋卡．最后，啟導員填寫服務跟蹤表．你能為“兒童之家”的這項活動設計一個活動流程圖嗎?
19．（本小題滿分12分）
已知復數
和
，若
，求證：
.
20．（本小題滿分12分）
下圖是根據所輸入的值計算
值的一個算法程序, 若依次取數列
中的前200項，求所得值中的最小值.
21．（本小題滿分12分）
求復數
的模的取值范圍．
 |
一、選擇題：
1．C．提示：
．
2．A．提示：直接利用“更相減損術”原理逐步運算即可.
3．B．提示：
為實數，所以
．
４．Ｃ．提示：這是一個條件分支結構，實質是分段函數求最值問題，將函數定義域分為三段討論即可求解.分段函數為：
，
當
時，解得
，不合題意；當
時，解得
，不合題意；
當
時，解得
，符合題意，所以當輸入
的值為３時，輸出
的值為８.
５．B.提示：由
為純虛數得：
．由
，解得：
.因為
為第四象限角，所以
，則
，選B.
６．Ｃ．提示：此算法的功能為求解
當
取到第一個大于或等于
的值時，的表達式中最后一項的值．
由
．所以
時，
．
此時
．
７．C．提示：令
，則
，∴
．
８．D．提示：框圖的功能是尋找滿足
的最小的自然數
，可解得，
，
所以
，則輸出的值為
．
９．Ｄ．提示：
，此復數的對應點為
，因為
，所以
，所以此復數的對應點在第四象限．
10．B．提示：設工序c所需工時數為x天，由題設關鍵路線是a→c→e→g.需工時1+x+4+1=10.∴x=4，即工序c所需工時數為4天．
11．Ａ．提示：
，
，
……，所以
．
12．Ａ．提示：根據題意可得：
，解得
．所以點
落在以
為端點的線段上，如右圖．
表示線段
上的點到
的距離之和，顯然當
共線時，和最小，此時，點是直線
的交點，由圖知，交點為
，所以
．
．
，當
時，
，
．
二、填空題
13．
，
．提示：這是一個當型循環結構，由條件可知判斷的條件是：；處理框所填的是：．
14．21分鐘．提示：根據流程，可以先燒水，泡面，在燒水泡面的11分鐘里，可以同時洗臉刷牙和上網查資料，這樣最短可用去11分鐘，然后吃飯用10分鐘，這樣他做完這些事情用的最短時間為21分鐘．
15．
．提示：設方程的實根為
，代入方程得
，可化為
，所以有
，解得
，
所以
，所以其共軛復數為．
16．４．提示：從圖中可以看出，一件成品必須經過的工序次數是粗加工、檢驗、精加工或返修加工、檢驗，至少四次．
三、解答題：
17．解：由題知平行四邊形三頂點坐標為
，
設D點的坐標為 
．
因為
，得
，
得
得
，即
，
所以
，則
對應的復數為
．
⑵因為
，所以復數
的對應點Ｚ在以
為圓心，以２為半徑的圓上，
則
的最大值為
．
18．解：
19．解：因為
，
，
所以，若
，則
，
消去
可得：
，
可化為
，則當
時，
取最小值
；當
時，取最大值7．
所以
．
20．解：此程序的功能是求解函數
的函數值．
根據題意知
則當
且
時，
；當
且時，
；
所以
，可以化為
，
當時，
時，有最小值
；當時，則
時，有最小值
．
因為
，所以所得
值中的最小值為１.
21．解：
，
所以
．因為
，所以
，
所以
，則
，即的模的取值范圍為
．
22．解：（1）算法的功能為：
（2）程序框圖為：
⑶程序語句為：
；
；
；
；
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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