2009年廣州市高三年級調研測試
數 學（文 科）
2009.1
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應位置上．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須填寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號（或題組號）對應的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔．考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
參考公式：如果事件
互斥，那么
．
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知i為虛數單位，則（
i）（
i）=
A．0
B．
2．在等比數列｛an｝中，已知
，則
A．16
B．16或－
3．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a
b ，則實數
的值為
A．
B．
C．
D．
4．經過圓
的圓心且斜率為1的直線方程為
A．
B．
C. 
D．
5．已知函數
是定義在R上的奇函數，當
時，
，則
A．
B．
C．
D．
6. 圖1是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，
則甲、乙兩人這幾場比賽得分的中位數之和是
A．62 B．63
C．64 D．65
7. 已知
，則
A． B．
C． 
D．
8. 命題“
”的否命題是
A.
B.若
，則
C.
D.
9．圖2為一個幾何體的三視圖，正視圖和側視圖均為矩形，俯視
圖為正三角形，尺寸如圖，則該幾何體的側面積為
A．6
B． 24
C．12
D．32
10. 已知拋物線
的方程為
，過點
和點
的直
線與拋物線沒有公共點,則實數
的取值范圍是
A. 
B.
C. 
D. 
（一）必做題（11～13題）
二、填空題: 本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
11. 函數
的定義域為
.
12．如圖3所示的算法流程圖中，輸出S的值為 . 圖3
13．已知實數
滿足
則
的最大值為_______．
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）
14.(坐標系與參數方程選講選做題)在直角坐標系中圓的參數方程為
（
為參數），以原點
為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓的圓心極坐標為_________．
15．（幾何證明選講選做題）如圖4，
是圓外一點，過引圓的兩條割線
、
，
，
，則
____________．
證明過程或演算步驟.
三、解答題: 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，
16．(本小題滿分12分)
已知
R
.
（1）求函數的最小正周期;
（2）求函數的最大值，并指出此時的值．
17. (本小題滿分12分)
某校高三文科分為四個班.高三數學調研測試后, 隨機地
在各班抽取部分學生進行測試成績統計,各班被抽取的學
生人數恰好成等差數列,人數最少的班被抽取了22人.
抽取出來的所有學生的測試成績統計結果的頻率分布條形
圖如圖5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)
的頻率為0.05,此分數段的人數為5人. 0
(1) 問各班被抽取的學生人數各為多少人?
(2) 在抽取的所有學生中,任取一名學生, 求分數不小于90分的概率. 圖5
18．(本小題滿分14分)
如圖6，已知四棱錐
中，
⊥平面
，
是直角梯形，
，
90º，
．
（1）求證：
⊥
；
（2）在線段
上是否存在一點
，使
//平面，
若存在，指出點的位置并加以證明；若不存在，請說明理由.
19. (本小題滿分14分)
設橢圓
的離心率為
=
,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩
焦點的距離之和為4.
(1)求橢圓的方程；
（2）橢圓上一動點
關于直線
的對稱點為
,求
的取值范圍.
20．（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，且 
.
（1）求數列的通項公式；
（2）設
，數列
的前項和為
，求證：
.
21. （本題滿分14分）
已知函數
(
R)．
(1) 當
時，求函數
的極值；
（2）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．
2009年廣州市高三年級調研測試
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
11．
12．
13．
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z）等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
…… 2分
…… 4分
.
…… 6分
∴
.
…… 8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 .
……10分
此時
，即
Z
.
……12分
17. (本小題滿分12分)
解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數為
人. ……4分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列,設其公差為
,
由
=100,解得
.
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人. ……8分
(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
……12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵ 
⊥平面
，
平面，
∴
⊥. …… 2分
∵
⊥
，
，
∴
⊥平面
，
…… 4分
∵
平面，
∴
⊥.
…… 6分
（2）法1: 取線段
的中點
，
的中點
，連結
,
則
是△
中位線.
∴∥
，
，
……8分
∵
，
，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形，
……10分
∴ 
.
∵ 
平面
，
平面，
∴ ∥平面.
……12分
∴
線段的中點是符合題意要求的點．
……14分
法2: 取線段的中點，的中點，連結
,
則是△的中位線.
∴∥，
，
∵
平面, 
平面,
∴
平面.
…… 8分
∵
，，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形，
∴ 
.
∵ 
平面，
平面，
∴ ∥平面
.
……10分
∵
,
∴平面
平面.
∵
平面
,
∴∥平面.
……12分
∴
線段的中點是符合題意要求的點．
……14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…… 2分
∵
,
∴
.
…… 4分
∴所求橢圓
的方程為
.
…… 6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
…… 8分
解得：
，
.
…… 10分
∴
.
…… 12分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.
∴
的取值范圍為
.
……14分
20. (本小題滿分14分)
(1) 解：當
時，
.
……1分
當
時，
.
……3分
∵
不適合上式,
∴
……4分
（2）證明: ∵
.
當
時，
……6分
當時，
,
①
. ②
①－②得:
得
，
……8分
此式當時也適合.
∴
N
.
∵
，
∴
.
……10分
當時，
，
∴
.
……12分
∵
，
∴
.
故
，即
.
綜上，
．
……14分
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
. …… 2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
…… 4分
∴ 當
時, 取得極大值為
;
當
時, 取得極小值為
. …… 6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0， …… 7分
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． …… 9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
…… 11分
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而當
時,
,
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點. …… 13分
綜上所述，a的取值范圍是
．
…… 14分
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