第六節 二次函數的應用
【回顧與思考】
二次函數應用
【例題經典】
用二次函數解決最值問題
例1 （2006年旅順口區）已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積．
【評析】本題是一道代數幾何綜合題，把相似三角形與二次函數的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力．同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間．
例2 某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：
x（元）
15
20
30
…
y（件）
25
20
10
…
若日銷售量y是銷售價x的一次函數．
（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式；
（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？
【解析】（1）設此一次函數表達式為y=kx+b．則
解得k=-1，b=40，即一次函數表達式為y=-x+40．
（2）設每件產品的銷售價應定為x元，所獲銷售利潤為w元
w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．
產品的銷售價應定為25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元．
【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有區別，主要有兩點：（1）設未知數在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最�。钡脑O問中，“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；（2）問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．
【考點精練】
1．二次函數y=
x2+x-1，當x=______時，y有最_____值，這個值是________．
2．在距離地面gt2（其中g是常數，通常取
3．影響剎車距離的最主要因素是汽車行駛的速度及路面的摩擦系數．有研究表明，晴天在某段公路上行駛上，速度為V（km/h）的汽車的剎車距離S（m）可由公式S=
V2確定；雨天行駛時，這一公式為S=
V2．如果車行駛的速度是
4．（2006年南京市）如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10．在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？
5．（2006年青島市）在2006年青島嶗山北宅櫻桃節前夕，某果品批發公司為指導今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進行了調查統計，得到如下數據：
銷售價x（元/千克）
…
25
24
23
22
…
銷售量y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
（1）在如圖的直角坐標系內，作出各組有序數對（x，y）所對應的點．連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數關系，并求出y與x之間的函數關系式；
（2）若櫻桃進價為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷售價x（元/千克）之間的函數關系式，并求出當x取何值時，P的值最大？
6．（2006十堰市）市“健益”超市購進一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經驗知，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元）（x≥30）存在如下圖所示的一次函數關系式．
（1）試求出y與x的函數關系式；
（2）設“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
（3）根據市場調查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現該超市經理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍（直接寫出答案）．
7．施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為
（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；
（2）求出這條拋物線的函數解析式；
（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．
8．（2006年泉州市）一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以AD為直徑的半圓O，下部是一個矩形ABCD．
（1）當AD=
（2）已知矩形ABCD相鄰兩邊之和為
①求隧道截面的面積S（米）關于半徑r（米）的函數關系式（不要求寫出r的取值范圍）；
②若
取3.14，結果精確到
答案:
例題經典
例1：解：設矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2≤x≤4）
易知CN=4-x，EM=4-y．且有
（作輔助線構造相似三角形），即
=，∴y=-x+5，S=xy=-x2+5x（2≤x≤4），
此二次函數的圖象開口向下,對稱軸為x=5，
∴當x≤5時，函數的值是隨x的增大而增大，
對2≤x≤4來說，當x=4時，S有最大值S最大=-×42+5×4=12．
考點精練
1．-1，小，-
2．7 3．36
4．解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，∴
，
∵AB=2AD，MN=x，∴MF=2x，∴EM=EF-MF=10-2x，
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-
）2+
，
∴當x=時，S有最大值為．
5．解：（1）正確描點、連線．由圖象可知，y是x的一次函數，設y=kx+b，
∵點（25，2000），（24，2500）在圖象上，
∴
，
∴y=-500x+14500．
（2）P=（x-13）?y=（x-13）?（-500x+14500）
=-500x2+21000x-188500=-500（x-21）2+32000，
∴P與x的函數關系式為P=-500x2+21000x-188500，
當銷售價為21元/千克時，能獲得最大利潤．
6．解：（1）設y=kx+b由圖象可知，
，
∴y=-20x+1000（30≤x≤50）
（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）=-20x2+1400x-20000．
∵a=-20<0，∴P有最大值．
當x=-
=35時，P最大值=4500．
即當銷售單價為35元/千克時，每天可獲得最大利潤4500元．
（3）31≤x≤34或36≤x≤39．
7．解：（1）M（12，0），P（6，6）．
（2）設這條拋物線的函數解析式為：y=a（x-6）2+6，
∵拋物線過O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=
，
∴這條拋物線的函數解析式為y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．
（3）設點A的坐標為（m，-m2+
∴OB=m，AB=DC=-m2+
∴BC=12
∴L=AB+AD+DC=-m2+m2+
m2+（m-3）2+15．
∴當m=3，即OB=
8．（1）當AD=×（
）2=×22=2（米2）．
（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，∴CD=8-AD=8-2r，
∴S=r2+AD?CD=r2+2r（8-2r）=（-4）r2+16r，
②由①知CD=8-2r，又∵
由①知S=（-4）r2+16r=（×3.14-4）r2+16r
=-2.43r2+16r=-2.43（r-
）2+
，
∵-2.43<0，∴函數圖象為開口向下的拋物線，
∵函數圖象對稱軸r=≈3.3．又2.5≤r≤3<3.3，
由函數圖象知，在對稱軸左側S隨r的增大而增大，
故當r=3時，S有最大值，
S最大值=（-4）×32+16×3≈（×3.14-4）×9+48=26.13≈26.1（米2）．
答：隧道截面面積S的最大值約為
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