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廣東省湛江師范學院附中2009年高考模擬試題(13)

數學

一.選擇題：

1.設全集,集合,則=

A.        B.         C.         D. 

2.若x,y∈R，為虛數單位,且,則復數在復平面內所對應的點在

A. 第一象限           B.  第二象限        C. 第三象限         D. 第四象限

3.一個幾何體的三視圖如右圖，其中主視圖和左視圖都是邊長為1的

正三角形，那么這個幾何體的側面積為

   A．         B．      C．      D．

4.首項為的等差數列,從第項開始為正,則公差的取值范圍是

A.           B.            C.        D. 

5.設雙曲線的兩條漸近線與直線x=圍成的三角形區域（包含邊界）為D，點

為D內的一個動點，則目標函數的最小值為

    A．-2                B．-         C．0             D．

6.函數（），對任意有，且，那么

等于

A．                B．           C．              D．

7.下列命題:①；②；③ ;④“”的充要條件

是“,或”. 中,其中正確命題的個數是

A. 0                  B. 1                C. 2                D. 3

8.設，則關于的方程在上有兩個零點的概率為

A.                  B.                C.                D. 

二.填空題：

9.已知函數的圖像經過點，則實數的值        .

10.的展開式中的常數項為               ．

11.在△中，所對的邊分別為，且，則∠的大小為        ．

12.如下圖，給出了一個程序框圖,其作用是輸入的值,輸出相應的的值,若要使輸入的的值與輸出的的值相等,則這樣的的值的集合為            .

選做題: 13～15題，考生只能從中選做兩題　

13.極坐標系中，曲線和相交于點，則線段的長度為        ．

14.已知函數，若對任意實數都有成立，則實數的取值范圍為           ．

15.如圖,AC為⊙O的直徑，弦于點，，，則的值為      .

三.解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(13分)設向量，向量，．

(1)若向量，求的值；

(2)求的最大值及此時的值．

17(13分)某批發市場對某種商品的周銷售量(單位:噸)進行統計,最近100周的統計結果如下表所示:

周銷售量（單位：噸）

2

3

4

頻數

20

50

30

(1)根據上面統計結果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率;

(2)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元,表示該種商品兩周銷售利潤的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨立,求的分布列和數學期望.

18.(12分) 已知函數

   (1)當時，求函數在點處的切線方程及的單調區間；

   (2)求函數f(x)的極值．

19.(14分)正三棱柱的所有棱長均為２，P

是側棱上任意一點．

(1)求正三棱柱的體積；

(2)判斷直線與平面是否垂直，請證明你

的結論；

(3)當時，求二面角的余弦值．  

20.(14分)已知曲線上任一點到直線與點的距離相等．

(1)求曲線的方程；

(2)設直線與曲線C交于點A,B，問在直線上是否存在與無關的定

M，使得被直線平分，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

21.(14分)已知點在直線上，點

……，順次為軸上的點,其中，對

于任意，點構成以為頂角的等腰三角形, 設的面積為．

(1)證明：數列是等差數列；

(2)求；（用和的代數式表示）

(3)設數列前項和為，判斷與()的大小，并證明你的結論；

DAAC  BACB    2.由,解得,所以對應的點在第一象限．

3.幾何體為圓錐，母線長為，底面半徑為，則側面積為．

4.，解得             5.可行域三角形的三個頂點坐標為

,將這三點代入即可求得Z的最小值．

6.由得：，即1是的周期，而為奇函數，則

7.僅②③正確，③是“或”; ④的充要條件是且. 

8.由，即，再通過畫圖，利用積分求出合乎條件的區域面積為，而所有可能的區域面積為1，由幾何概型的概率為其面積的比值即可得出．

題號

9

10

11

12

13

14

15

答案

9.因為，則，而,所以.10.由楊輝三角或二項展開式即得結論.

11.由正弦定理得：，而，兩式相乘得，從而

12.依題意得,或,或,解得,或,.

13.將其化為直角坐標方程為，和，代入得：

則

14．由題設 對任意實數均成立，由于，則

15.由射影定理得,，

則cos∠ACB=sin∠A＝sin∠D=.

16.解:(1)由于，則，   ………………3分

顯然，兩邊同時除以得，；    ……………6分

（2）由于，   ………………8分

即，                

∴    ………………10分

由于，則，        ………………11分

則，即時，最大值為．  ………………13分

說明：本題第（1）問可以利用解析幾何兩直線垂直的條件求出，第（2）問可以結合平面幾何知識得出．

17. 解：（1）周銷售量為2噸，3噸和4噸的頻率分別為0.2，0.5和0.3.  ……3分

（2）的可能值為8，10，12，14，16，               ……4分

P（=8）=0.2²=0.04,    P（=10）=2×0.2×0.5=0.2,     ……6分

P（=12）=0.5²+2×0.2×0.3=0.37,   P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,  

P（=16）=0.3²=0.09.                             ……9分

8

10

12

14

16

0.04

0.2

0.37

0.3

0.09

則的分布列為

……11分

=8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）  ……13分

說明：第（1）問每個頻率1分，第（2）問一種情況的概率1分，分布列正確2分，期望2分．

18.解：（1）當a = -1時，     ……1分∴

函數在點x = 1處的切線方程為y－1= 3（x－1），即y =3x -2      ……3分

當 時，，∴函數在（0，+∞）上是增函數，

而的定義域為，則函數的單調增區間為，不存在遞減區間．…5分

（2）函數的定義域為（0，+∞），，……6分

①當時，在（0，+∞）上是增函數；函數無極值……8分

②當時，由，得，            ……9分

由，                     ……10分

∴當時，有極小值   ……11分

綜上，當時，f(x)無極值；當a>0時，f(x)有極小值，無極大值 …12分

19.（1）     ……3分

（2）建立如圖空間坐標系，設，   ……4分

則的坐標分別為       ……6分

∴，

∴不垂直

∴直線不可能與平面垂直 ……8分

（3），由，得

即　

又　

∴是面的法向量    …10分

設面的法向量為，

由得    ……12分                                         

設二面角的大小為，則

∴二面角的余弦值大小為           ……14分

說明：有些結果由于法向量的方向問題，出現余弦值為負值者扣1分．

20.解：依題意，曲線為拋物線，且點為拋物線的焦點，為其準線， 2分

則拋物線形式為，由，得 ，     ……4分

則曲線的方程為．             ……6分

（2）設，，假設存在點滿足條件，則 ……8分

即，

即       ①     ……9分

而， ，                    ②

整理得               

即為：      ③    ……11分

由得：，

則，，    ④                  ……12分

將④代入③得：，即．  ……13分

因此，存在點滿足題意．                                        ……14分

21. 解：（1）由于點在直線上，

則，     ……1分    因此，所以數列是等差數列   ……2分

（2）由已知有，那么                 ……3分

同理以上兩式相減，得，       ……4分                                                                                          

∴成等差數列；也成等差數列，                 

∴，                          ……5分

         ……6分

點，則，，

而∴  ……8分

（3）由(1)得:，    ……9分

則   

而，則，               ……11分

即                                

∴

∴ 

∴                    ……12分

由于 ，而,

則, 從而  ,      ……13分  

同理:

……

以上個不等式相加得：

即，從而         …14分

說明：（1）也可由數學歸納法證明  ；

（2）本題也可以求出的通項公式，由兩邊同時除以，

令，則

利用錯位相減法可求出：

則，

則，時，也符合上式，

則對任意正整數都成立．

下同上述解法