成都石室中學高2008級一診模擬考試
數學試卷（理）
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.函數
的圖象 （ ）
A 關于
軸對稱 B 關于
軸對稱 C 關于原點對稱 D 關于
對稱
2.函數
與
在同一直角坐標系下的圖象大致是（ ）
3.已知
，則
是
的 （ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4.設
是第四象限角，
，則
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.已知
是不重合的兩條直線，
是不重合的兩個平面，則下列命題
①
，則
②
，則
③若
，則； ④
，則
其中真命題個數為 （ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
6.在等差數列
中，若
，則
的值為 （ ）
A． 14 B．
7.如圖，正方體
的棱長為
，過點
作平面
的垂線，垂足為點
，
則以下命題中，錯誤的命題是（ ）
Ａ．點是
的垂心 Ｂ．
垂直平面
Ｃ．直線和
所成角為
Ｄ．的延長線經過點
8.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有 （ ）
A．24種 B．18種 C．12種 D．6種
9.定義域為
的函數
,若關于的方程
恰有
個不同的實數解
，則
等于 （ ）
A．
B．
C．1 D．0
10.已知
是等差數列，若
且它的前
項和
有最大值，則當取得最小正值時，為（ ）
A．11 B．
11.設等比數列
的前項和為，則
，
的大小關系是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 不確定
12．設函數
，區間M=[a，b](a<b)，集合N={
}，則使M=N成立的實數對(a，b)有
( )
(A) 2個 (B)1個 (C) 0個 (D)無數多個
Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二.填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分.）
13.若
的展開式中第三項是常數項，則
，且這個展開式中各項的系數和為____
14.在四面體
中，
兩兩垂直，且
，則四面體的
外接球的體積為_______
15.已知O是△ABC內一點，
的面積的比值為
16.已知定義在上的函數
的圖象關于點
,對稱且滿足
，
，
，則
第Ⅱ卷（選擇題，共90分）
二.填空題：
13. , ； 14. ； 15. ； 16.
三.解答題：
17.（本小題12分）已知函數
．
（Ⅰ）求函數的最小正周期；
（Ⅱ）求函數在區間
上的最小值和最大值．
18.(本小題12分)
如圖（1）在直角梯形
中，
，
、
、
分別是
、
、
的中點，現將
沿
折起，使平面
平面
（如 圖2）
（Ⅰ）求二面角
的大�。�
（Ⅱ）在線段
上確定一點
，使
平面
，并給出證明過程.
 |
19.(本小題12分)
2008年奧運會即將在北京舉行，為了迎接這次奧運盛會某中學從學生中選出100名優秀學生代表，在舉行奧運之前每人至少參加一次社會公益活動，他們參加活動的次數統計如圖所示從100名優秀代表中任選兩名，
（Ⅰ）求他們參加活動次數恰好相等的概率，
（Ⅱ）
用
表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望。
20．（本小題12分）
已知數列的前項和為，且
.
（Ⅰ）求證：數列
為等比數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式及前項和，并求
；
（Ⅲ）若數列
滿足：
，
，求數列的通項公式.
21．（本小題滿分12分）
設函數
（I）當a=2時，求f(x)的極值；
（II）若不等式
對所有的實數R均成立，求a的取值范圍.
22．已知函數
滿足下列條件：對任意的實數x1，x2都有
和 
， 其中
是大于0的常數.
設實數a0，a，b滿足
和
(Ⅰ)證明
，并且不存在
，使得
；
(Ⅱ)證明
；
(Ⅲ)證明
.
一．DCBAB CCBAC CC
二．13．6，1 14. 
15. 
16. 1
三.17．解：（Ⅰ）
．最小正周期為
．
（Ⅱ）函數在區間
上的最大值為
，
最小值為
18. 
就是二面角的平面角.
在
中，
，即二面角的大小為.
(2) 當點
是線段的中點時，有
平面.證明過程如下:
為的中點,
∥,又
∥,∥,從而、
、、四點共面．在
中，
為的中點，
，又
平面
，，
，又
，
平面
，即平面.
解法二:（1）建立如圖所示的空間直角坐標系設平面
的法向量為
,則
,取
又平面
的法向量為
所以
即二面角的大小為.
（2）設
則
又
,
平面
點是線段的中點.
19．①
………………6分
②可能取值為0，1，2，則 ………………7分
，
……10分
隨機變量
的分布列為
ξ
0
1
2
P
………………11分
………12分
20.解：（I）將
代入已知
，整理得 
--3分
又由已知
，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列. ----------4分
（II）由（I）的結論可得
， ∴
. -----------5分
當
時，
，
由已知
，∵當
時， 
，∴ 
. -----7分
------8分
（III）由
，得
，由此式可得
，
，
，
.
把以上各等式相加化簡得 
， --------10分
∴
---------12分
21．解：當a=2時，
設
得
，那么
當x變化時
及
變化情況如下表
x
(
)
－1
(－1，1)
1
(
)
+
0
－
0
+
極大值
極小值
（II）若不等式對所有的實數R均成立，
即
恒成立，
設g(x)= 
，
時
或x=1(列表略)
易知時g(x)取極大值，x=1時g(x)取極小值
，
且當
時
，即g(x)>0
因而g(x)最小值為
，解得0<a<ln3
（22）證明：（1）任取
，則由 ①
和 ②
可知，
，從而
；
假設有，使得，則由①式知，
，矛盾，因此不存在，使得。
（2）由 ③可知
④
由和①得，
⑤
由和②得，
⑥
將⑤⑥代入④得
；
（3）由③式可知，
（用②式）
（用①式）
。
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